une question sur les series numeriques
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Mmarecage dernière édition par
Bonsoir a tous!J'ai un DM a rendre demain et je me suis bloque sur un probleme.Je serais tres content si vous m'aidez.
"On considere la serie E 1/(n^n)." (E veut dire sigma et n>=1)
a)Montrer que sette serie est convergente.
b)Soit Rn = E 1/k^k (k=n+1 et va jusqua l'infini) le reste d'ordre n de la serie.Par comparaison avec le reste d'ordre n d'une serie geometrique montrer que pour tout n>=0,
Rn<=1/(((n+1)^n).n)
c)calculer la somme S= E 1/(n^n) (le depart n=1 et va jusque l'inifini) a 10^-3 pres.
On precisera le nombre de termes utilises et la valeur de chacun d'eux.Cest tout.S'il vous plait aidez moi.J'attends vos reponses.Merci.
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BBeudoul dernière édition par
Bon alors les séries normalement, c'est du programme de spé.....
Donc il faut considérer ça comme une suite....a) On va considérer la suite un = som(1/(i^i)) pour i allant de 1 à n
Je pense qu'on pourrait montrer qu'elle converge en disant qu'elle est croissante et ............. (remplis le blanc
)
A toi de finir la question ...b)Il faut dire que qqsoit/ k app/ [n+1, +inf/ ]
1/k <= 1/(n+1)
et donc (1/k)^k <= (1/(n+1))^k
Ainsi si on somme ces deux expressions pour k allant de n+1 à +inf/ , on trouve :
som((1/k)^k) <= som((1/(n+1))^k) (avec k variant de n+1 à +inf/ )
Il faut tout de même établir la convergence de la somme de droite et par la même occasion la calculer (puisque c'est une somme de termes issus d'une suite géometrique)
Pour cela, tu peux considerer la somme des (1/k^k) de k allant de n+1 à un entier m (plus grand que n+1 par souci de cohérence) et faire tendre m vers ............ (remplis)
Avec ça tu peux trouver normalement....c) Tu veux calculer S à 10^-3 près, donc en fait tu veux être à (moins de ) 10^-3 près de la limite de cette somme, donc que la difference entre la suite et la limite soit inferieure à 10^-3, mais la difference entre la suite et la limite c'est justement ............ (remplis le blanc)
Donc tu veux que ...... <= 10^-3
Mais dans la partie b tu as montré que .......... <= .............
donc il suffit de prendre ............... <= 10^-3 pour être sûr d'avoir
........... <= 10^-3
Ainsi tu peux calculer jusqu'à quel n tu dois aller pour calculer ta somme SJ'espère avoir été assez clair, en avoir assez dit mais pas trop quand même
Salut