coordonnées d'un point dans un cercle...



  • bonjour,

    Je ne sais pas si je suis dans la bonne rubrique, mais je pense que mon problème est assez basic... ça fait une heure que je planche sur un problème...

    Je suis en étude supérieure, mais j'arrive pas à trouver la réponse que je souhaite sur le web... et étant donné que cela fait "longtemps" que je n'ai pas refait de math à fond, je pose ici monu problème, ça vous fera un exercice en plus ! 😄

    Je veux trouver les coordonnées de n'importe quel point d'un cercle en ayant un point de référence, le centre, le rayon et un angle.
    Voici le problème en image, ce sera plus clair je pense :

    problème math

    merci d'avance 😉

    Jazz


  • Modérateurs

    Salut.

    Tant qu'à faire, on va se placer dans le plan complexe. L'abscisse c'est les réels, l'ordonnée les imaginaires.

    On utilise la rotation dans le plan complexe:

    Rotation d'angle a(Attention au sens dans la figure! Il ne faudra pas se tromper), et de centre R d'affixe (omeg):

    zBz_B =e=e^{ia}(zA(z_A-(omeg))+(omeg)

    Tu en déduis donc zBz_B, c'est-à-dire les coordonnées de B.

    @+



  • Bonjour,

    je viens de relire ta solution, mais j'avoue ne pas bien comprendre la formule que tu as écrit... :s

    pourrais-tu expliquer plutôt les calculs pour avoir le x, puis le y de B ?

    😄


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour comprendre la formule, il te faudrait lire un cours sur les complexes appliqués à la géométrie. C'est un cours de TS, c'est pour cela que j'en ai parlé. Je n'ai pas le temps de t'écrire les bases, plus l'explication qui te permettrait de comprendre chaque terme de la formule ce soir.

    En fait, les coordonnées de B sont (x;y), ce qui s'écrit en notation complexe x+iy=zBx+iy=z_B (c'est l'affixe de B), avec i le nombre complexe tel que i=√(-1).

    L'angle a, c'est l'angle ARB. Le signe de l'angle est positif si l'on tourne dans les sens trigonométrique(sens inverse des aiguilles d'une montre), et négatif sinon.

    (omeg) c'est l'affixe du centre du cercle, c'est-à-dire la représentation en notation complexe des coordonnées de R(x';y'), donc x'+iy'.

    L'affixe de A(xAA(x_A;yAy_A), xx_A+iyA+iy_A =zA=z_A.

    eiae^{ia} = exp(ia), c'est l'exponentielle.


    D'un point de vue calcul, il faut remplacer les notations par leurs valeurs, et séparer les parties imaginaires et réelles. Je détaille un peu le calcul. Je te conseille vivement de te référer au cours de base sur les complexes pour suivre certains passages délicats. Pose des questions si tu ne comprends pas.

    zBz_B =e=e^{ia}(zA(z_A-(omeg))+(omeg)

    x+iy=[cos(a)+i<em>sin(a)]</em>[(xx+iy=[cos(a)+i<em>sin(a)]</em>[(x_A+iyA+iy_A)-(x'+iy')]+(x'+iy')

    Après un peu de calcul à droite, on arrive à séparer les facteurs de i (la partie imaginaire), et les termes non facteurs de i (la partie réelle). Il faut savoir que i²=-1.

    x+i
    y=[
    (x_Ax-x')cos(a)-(y_A$-y')sin(a)+x']+i*[
    (y_Ay-y')cos(a)+(x_A$-x')sin(a)+y']

    sauf erreurs de calcul.

    Une propriété des complexes est que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles ainsi que leurs parties imaginaires sont égales, donc ici que:

    <strong>x=(xA<strong>x=(x_A-x')cos(a)(yA)cos(a)-(y_A-y')sin(a)+x'
    y=(yAy=(y_A-y')cos(a)+(xA)cos(a)+(x_A-x')sin(a)+y'

    Vérifie si ça marche, parce que j'ai pu me tromper.


    J'imagine qu'il doit y avoir une méthode toute bête, mais tout de suite je ne vois pas. En tout cas pas niveau TS... parce que dans ce cas, j'ai des formules toutes faites. Ca utilise les courbes paramétrées.

    On saurait que les coordonnées de tout point M(x;y) du cercle sont de la forme:

    x(t)=rcos(t)+x'
    y(t)=r
    sin(t)+y'

    avec "t", l'angle que fait RMRM^\rightarrow avec l'axe des abscisses orienté dans le bon sens.

    Et le problème est résolu quasi-immédiatement sans calculs compliqués.

    @+



  • Merci beaucoup pour ces explications ! 😉

    Ca marche parfaitement bien !

    J'avoue être un peu rouillé en complexe, car cela fait longtemps que je ne m'y suis pas remis. Du coup, je cherchais une autre solution pour résoudre ce problème, avec des triangles rectangles (pythagore)... en vain !

    Je me sers de ta formule détaillée et nan, tu ne t'es pas trompé ;).

    En tout cas, merci pour ton explication et surtout pour ta rapidité, j'ai ENFIN résolu mon problème et je vais pouvoir passer à la suite !

    Ouf !

    +++


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