Démonstration Orthocentre par rapport aux côtés d'un triangle



  • Bonjour,

    Voilà j'ai un problème pour cet exercice que je dois rendre dans pas longtemps...
    J'ai réussis à faire toutes les questions sauf les deux dernières... Je ne vois vraiment pas...
    Donc je voulais savoir si vous pouviez m'aider pour les questions c) et d) ?

    Merci d'avance.

    (désolé pour la qualité de l'image et surtout du cercle^^)

    http://img58.imageshack.us/img58/1985/maths7ts.jpg



  • Bonjour,

    c) J'appelle M le milieu commun de [BC] et [HD].

    J'appelle K le milieu de [HH1] : K est sur (BC) car H1 sym de H par rapp. à (BC).

    Les points H,K,H1 et H,M,D sont alignés ds le même ordre.

    On calcule :

    HK/HH1=1/2

    HM/HD=1/2

    Donc HK/HH1=HM/HD

    D'après la réci. du th. de Thalès les dr. (KM) et (H1D) sont //.

    Donc (BC)//(H1D)

    d) Comme (CB) ppd (AH1) et que (H1D)//(BC) alors :

    (H1D) ppd (AH1).

    le tr. AH1D est donc rect en H1 : il est inscrit dans un cercle ayant pour diam. son .....

    Je te laisse finir.

    A+



  • Wahou, merci bien pour ton aide^^

    Il y a une chose que je ne comprend pas :

    Pourquoi HK/HH1=1/2 et HM/HD=1/2 ?



  • De plus j’aimerais avoir votre avis sur le début de l’exo pour voir si c’est juste ^^

    a) Pour (BH) et (CD)

    Par hypothèse, O est le milieu de [AD] et les points A, C et D appartiennent au cercle de centre O et ABC est un triangle.

    Le cercle circonscrit d’un triangle passe par tous les sommets du triangle. Donc, le cercle de centre O est le cercle circonscrit au triangle ABC.

    De plus, si le centre d’un cercle circonscrit se situe au milieu d’un côté du triangle, alors celui-ci est rectangle par l’angle opposé à ce côté.

    Donc le triangle ADC est rectangle en C
    Par démonstration (DC) ppd à (CA)
    (BH) est ppd à (CA)
    Or si deux droites sont ppd alors toutes ppd à l’une est // à l’autre.

    Donc (BH)//(CD)

    Pour (CH) et (BD)

    Le cercle de centre O est le cercle circonscrit au triangle ABD.

    Donc le triangle ABD est rectangle en B
    Par démonstration (AB) ppd à (BD)
    (CH) ppd à (AB)

    Comme précédemment deux droites si deux droites sont ppd alors toutes ppd à l’une est // à l’autre.
    Donc (HC) //5BD)

    b) (CH)//5BD) , (BH)//(CD) et BHCD un quadrilatère.

    Or un quadrilatère ayant ses côtés opposés // est 1 parallélogramme.

    Donc BHCD est un parallélogramme.

    Comme BHCD est un parallélogramme, on peut affirmer que ses diagonales se coupent en leurs miliuex.
    Donc [BC] et [HD] ont le même milieu.



  • Bonjour,

    si le pb est pour ce matin, j'arrive trop tard!!

    K est le milieu de [HH1] puisque par construction H1 est le sym de H apr rapport à (BC).

    Donc HH1=2HK et HH1/HK=1/2

    Quant à HM/HD=1/2, cela vient de la question précédente. On ne t'a pas demandé de montrer que le quad. BHCD est un parallélo. pour rien. En général, en maths : UNE QUESTION SERT TJRS A PREPARER LA REPONSE A LA SUIVANTE.

    Donc les diagos du parallélo se coupant en leur milieu :

    HM=MD donc HD=2HM donc HM/HD=1/2

    Pour ce que tu as fait, 2 précisions à apporter (le reste est parfait) :

    (BH) est ppd à (CA) car (BH) est hauteur du tr ABC.

    (CH) ppd à (AB) car (CH) est hauteur du tr ABC.

    A+


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