Démonstration Orthocentre par rapport aux côtés d'un triangle

Bonjour,

Voilà j'ai un problème pour cet exercice que je dois rendre dans pas longtemps...
J'ai réussis à faire toutes les questions sauf les deux dernières... Je ne vois vraiment pas...
Donc je voulais savoir si vous pouviez m'aider pour les questions c) et d) ?

Merci d'avance.

(désolé pour la qualité de l'image et surtout du cercle^^)

Bonjour,

c) J'appelle M le milieu commun de [BC] et [HD].

J'appelle K le milieu de [HH1] : K est sur (BC) car H1 sym de H par rapp. à (BC).

Les points H,K,H1 et H,M,D sont alignés ds le même ordre.

On calcule :

HK/HH1=1/2

HM/HD=1/2

Donc HK/HH1=HM/HD

D'après la réci. du th. de Thalès les dr. (KM) et (H1D) sont //.

Donc (BC)//(H1D)

d) Comme (CB) ppd (AH1) et que (H1D)//(BC) alors :

(H1D) ppd (AH1).

le tr. AH1D est donc rect en H1 : il est inscrit dans un cercle ayant pour diam. son .....

Je te laisse finir.

A+

Wahou, merci bien pour ton aide^^

Il y a une chose que je ne comprend pas :

Pourquoi HK/HH1=1/2 et HM/HD=1/2 ?

De plus j’aimerais avoir votre avis sur le début de l’exo pour voir si c’est juste ^^

a) Pour (BH) et (CD)

Par hypothèse, O est le milieu de [AD] et les points A, C et D appartiennent au cercle de centre O et ABC est un triangle.

Le cercle circonscrit d’un triangle passe par tous les sommets du triangle. Donc, le cercle de centre O est le cercle circonscrit au triangle ABC.

De plus, si le centre d’un cercle circonscrit se situe au milieu d’un côté du triangle, alors celui-ci est rectangle par l’angle opposé à ce côté.

Donc le triangle ADC est rectangle en C
Par démonstration (DC) ppd à (CA)
(BH) est ppd à (CA)
Or si deux droites sont ppd alors toutes ppd à l’une est // à l’autre.

Donc (BH)//(CD)

Pour (CH) et (BD)

Le cercle de centre O est le cercle circonscrit au triangle ABD.

Donc le triangle ABD est rectangle en B
Par démonstration (AB) ppd à (BD)
(CH) ppd à (AB)

Comme précédemment deux droites si deux droites sont ppd alors toutes ppd à l’une est // à l’autre.
Donc (HC) //5BD)

b) (CH)//5BD) , (BH)//(CD) et BHCD un quadrilatère.

Or un quadrilatère ayant ses côtés opposés // est 1 parallélogramme.

Donc BHCD est un parallélogramme.

Comme BHCD est un parallélogramme, on peut affirmer que ses diagonales se coupent en leurs miliuex.
Donc [BC] et [HD] ont le même milieu.

Bonjour,

si le pb est pour ce matin, j'arrive trop tard!!

K est le milieu de [HH1] puisque par construction H1 est le sym de H apr rapport à (BC).

Donc HH1=2HK et HH1/HK=1/2

Quant à HM/HD=1/2, cela vient de la question précédente. On ne t'a pas demandé de montrer que le quad. BHCD est un parallélo. pour rien. En général, en maths : UNE QUESTION SERT TJRS A PREPARER LA REPONSE A LA SUIVANTE.

Donc les diagos du parallélo se coupant en leur milieu :

HM=MD donc HD=2HM donc HM/HD=1/2

Pour ce que tu as fait, 2 précisions à apporter (le reste est parfait) :

(BH) est ppd à (CA) car (BH) est hauteur du tr ABC.

(CH) ppd à (AB) car (CH) est hauteur du tr ABC.

A+