petit probleme suite


  • J

    Bonjour !
    Voila mon probleme:

    http://porteblanche.free.fr/tr Un = nombre de triangles contenus dans le grand triangle .

    _ conjecturer la valeur de Un en fonction de n , puis la demontrer . En deduire le calcul : 1+3 +..+ (2n-1)

    Voila , donc la conjecture serait : Un = n² , mais comment la demontrer ?? ( pour info j'ai vu la recurrence ..)

    Merci d'avance .


  • M

    Salut,

    ton énoncé est incomplet, il n'indique pas comment est construit la figure au cas n.

    "Un = nombre de triangles contenus dans le grand triangle . " : ce n'est pas assez précis. Ca ne dit pas ce que représente n !!!


  • Zorro

    Et il manque ausssi la nature du triangle du départ.


  • M

    On est d'accord Zorro, il manque tout bonnement la description du processus de construction des figures.


  • J

    Non , il ne manque rien , a par pour :
    Citation
    En deduire le calcul : 1+3 +..+ (2n-1), c'est pour n >= 0 .

    Je pense que c'est un triangle equilateral ..
    Je vois , il y a 2 hypotheses :

    1. n=1 ---> 1 triangle
      n=2 ---> 4 triangles
      n=3 ---> 9 triangles

    Donc Un = n²

    1. n=1 ---> 0 triangle
      n=2 ---> 1 triangles
      n=3 ---> 3 triangles

    Continuons l'exercice avec la 1 ; Un=n² .

    Donc , comment demonter que Un=n² ??
    Merci d'avance /


  • M

    SAlut!!!!!!!!
    Alors à ta place je prendrais l'hypothèse 1 je suis d'accord pour ta conjecture
    unu_nun = n²
    avant de faire ta récurence tu dois faire une autre conjecture pour un+1u_{n+1}un+1
    une petite aide : un+1u_{n+1}un+1 = unu_nun +...

    après ta récurrence se fait toute seule
    bonne chance


  • J

    Merci de l'aide !
    Un+1= Un + (2n-1) = n² + (2n-1) !!
    Mais je sais pas comment le demontrer le " (2n-1) " , je l'ai trouver avec les premiers termes .
    Voila, quand j'ai trouver que Un+1= Un + (2n-1) doit-je faire ?
    Merci d'avance !


  • M

    Donc si je comprends bien, c'est à toi de trouver le processus de construction des figures ?? Bizarre !! 😲

    On remarque que pour le cas n, il y a n petits triangles placés les uns à côté des autres à la base du triangle principal. Entre chacun de ces petits triangles, on encapsule un petit triangle identique aux autres mais inversé : il y en a n-1. On obtient ainsi un trapèze contenant n + (n-1) = 2n + 1 petits triangles. Pour finir la construction du triangle principal, on remarque que la partie restante est un triangle identique à celui du cas n-1 : donc la partie restante possède un−1u_{n-1}un1 petits triangles.

    Ainsi pour le cas n, le triangle principal est composé de un−1u_{n-1}un1 + 2n + 1 petits triangles.

    Donc unu_nun = un−1u_{n-1}un1 + 2n + 1


  • J

    Merci madvin , mais ça repond pas a ma question , demonter que Un = n² ?
    Merci de l'aide .!


  • M

    bonsoir!!!!!!!!
    oui alors tu es arrivées a un+1 =un + (2n+1)
    Tu dois savoir que pour faire une récurrence
    initialisation tu prouves que ce que tu veux est vrai au rang 1
    u1 =1 et 1²=1 donc la propriété un = n² est vraie au rang 1
    hérédité tu supposes la propriété vraie au rang k
    uk = k²
    alors uk+1 = uk + (2k+1)
    ça tu l'as plus ou moins prouvé avant
    uk+1 = k² + (2k+1)

    uk+1 = (k+1)²
    la propriété est vraie au rang k+1 elle est vraie
    pour tout n>= 0

    J'espère que ceci fera l'affaire
    bonne chance


  • J

    merci miumiu , mais , voila , c'est comment prouver "n² + (2n+1)" ?
    Je le voie a vue d'oeil , mais il faut bien le demontrer , pour apres faire la recurrence !
    Sinon pour la recurrecne , j'ai compris , mais il reste a demontrer ce "n² + (2n+1)" , car la je sais pas d'ou il sort , si je corrige l'exercice .
    Merci d'avance !


  • M

    Je t'ai montré dans mon message précédent que :

    unu_nun = un−1u_{n-1}un1 + 2n + 1

    Or à partir de ça, miumiu t'a démontré par récurrence que :

    unu_nun = n²

    donc

    unu_nun = (n-1)² + 2n + 1 = n²

    un+1u_{n+1}un+1 = n² + 2n + 1 = (n+1)²


  • M

    salut!!
    Tu me demandes de te prouver pourquoi n²+(2n+1)=(n+1)² ?
    lol attend mais je pense pas qu' il y ait besoin de le prouver
    je sais bien qu'on nous demande au lycée de tout expliquer mais faut pas pousser 😉
    si tu veux que ce soit encore plus clair tu peux mettre
    n²+(2n+1)=n²+2n +1 = (n+1)² 😉
    franchement je vois pas quoi faire de plus il faudrait que quelqu'un d'autre te donne son avis je suis désolée


  • J

    non miumiu !!! la c'est trop simple , c'est pour l'etape d'avant , quand tu me dit de conjecturer Un+1 = ..... Pour apres faire la recurrence !
    La j'avais compris quand meme , non ? .. 🙂
    merci d'avnace 🙂


  • M

    je suis désolée mais c'était pas très clair!! lol
    Non mais (si j'ai bien compris) je crois que madvin a répondu à ta question à 19h20 il a réussi à te prouver que unu_nun = un−1u_{n-1}un1 + 2n +1
    voila bon alors je pense que tu peux passer directement à
    un+1u_{n+1}un+1 = unu_nun + 2n+1
    sinon peut ètre avec une autre récurrence mais bon ça m'étonnerais quand même qu'ils te demandent ça
    bonne nuit!!


  • J

    merci a tous ! bonne nuit


  • M

    qqsoit/n >= 2, unu_nun = un−1u_{n-1}un1 + 2n +1
    equiv/
    qqsoit/n >= 1, un+1u_{n+1}un+1 = unu_nun + 2n +1


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