suite : Decroissante ou croissante ?

[Juliedeparis]

Salut !
Voila , l'exercice :

1. Un+1= ( 2Un +3 ) / ( Un+1 ) avec Uo = 1 !
   (Un) est -elle croissante ? decroissante ?

2. Un+1= ( 3Un +2 ) / ( Un+1 ) avec Uo = 1 !
   (Un) est -elle croissante ? decroissante ?

Je ne sais pas comment resoudre cet exercice , je ne sais pas comment montrer que la suite est croissante ou decroissante ( je connais seulement Un+1 - Un comme methode ), pouvez vous m'aider svp
Merci d'avance !

[kevin59760]

soit la propriété P(n) : "1 <= $u_n$ <= a"

_ P(0) est vrai puisque $u_0$ =1

_Supposons P(n) vraie a un certain rang n quelconque

Si 1 <= $u_n$ <= a , alors
2 <= 2Un <= a
5 <= 2un+3 <=a

euh......j'espère t'avoir mis sur la voix!!! moi je vois que cette solution mais je n'arrive pas a continuer!

[Juliedeparis]

Je ne vois pas , je comprend que pour P(n) , doit etre superieur a 1 , pour voir si elle est croissante , mais bon je vois pas :frowning2:
Merci d'avance !

[kevin59760]

tu fais le principe de récurrence!!!!

[madvin]

Salut,

tu peux préciser ton énoncé s'il te plaît ?

N'y aurait-il pas des $u_n$+1 et des $u_{n+1}$ ?? Utilise l'écriture en indice car sans ça on fait pas la différence !!
Merci.

[Juliedeparis]

Voila, ma recurrence :
Pour n=o , Un est vrai .
On suppose que pour tout n >= 0 , Un est >= 1 !
Donc Un+1 = ( 2Un+3 ) / ( Un +1 )
2Un + 3 est toujours 2 fois supperieur a Un + 1 , pour tout n >= 0 , donc le rapport ( 2Un+3 ) / ( Un +1 ) sera toujours supperieur a 1 .
Donc Un est >= 1 .
Voila, ma recurrence qui est fausse ....
Aidez moi !

[Juliedeparis]

c'est U
n+1

[Zauctore]

Pour la 1re suite, les premiers termes montrent qu'elle n'est ni croissante ni décroissante

fig. avec Edugraphe.

[Zauctore]

La même expérimentation avec la seconde suite conduit à supposer qu'elle est croissante

Il reste à le prouver proprement par récurrence...

[Juliedeparis]

Je viens de me rendre compte , serait-ce pas possible de faire :
Citation
Un+1 - Un = ( 2Un+3 ) / ( Un +1 ) - ( 2U
n-1+3 ) / ( U
n-1+1 ) ???
si oui a la fin je trouve :
(Un-1 - Un)/ (Un+1)(Un-1 +1) , mais la je sais pas comment savoir si elle est decroissante ou pas !
Dites moi et aidez moi svp !
Merci d'avance +

[Juliedeparis]

je pensais faire :
signe Un-1 -Un = signe Un - Un+1
signe Un - Un+1 = ...
Jusqu'a signe Uo - U1 = 1 - 5/2 = -3/2 , mais le truc , pour faire cette technique , il faudrais que je connaisse le signe de (Un+1)(Un-1 +1) !
Non ?? merci d'avance !

[Zauctore]

Je ne m'occupe que de la seconde, puisque le cas de la première suite est réglé plus haut, cf mon 1er schéma.

La fonction associée est f(x) = (3x+2)/(x+1),
dont la dérivée est f '(x) = 1/(x+1)² >= 0 pour tout x diff/ -1.

Ainsi f est croissante sur ]-1 ; + inf/[ en particulier.

Je suppose que tu connais le raisonnement par récurrence, ce qui est un peu bizarre en 1re... mais faisons avec.

• Avec $U_1$ = f(1) = 2,5 >= 1 = $U_0$,
  on constate que la récurrence est fondée.

• Supposons que $U_n$ >= $U_{n-1}$.
  Puisque la fonction f est croissante, alors on a $f(U_n$) >= $f(U_{n-1}$),
  c'est-à-dire $U_{n+1}$ >= $U_n$.

• Le principe de récurrence montre donc que la suite $(U_n$) est croissante.

[Juliedeparis]

merci Zauctore !