suite : Decroissante ou croissante ?



  • Salut !
    Voila , l'exercice :

    1. Un+1= ( 2Un +3 ) / ( Un+1 ) avec Uo = 1 !
      (Un) est -elle croissante ? decroissante ?

    2. Un+1= ( 3Un +2 ) / ( Un+1 ) avec Uo = 1 !
      (Un) est -elle croissante ? decroissante ?

    Je ne sais pas comment resoudre cet exercice , je ne sais pas comment montrer que la suite est croissante ou decroissante ( je connais seulement Un+1 - Un comme methode ), pouvez vous m'aider svp
    Merci d'avance !



  • soit la propriété P(n) : "1 <= unu_n <= a"

    _ P(0) est vrai puisque u0u_0 =1

    _Supposons P(n) vraie a un certain rang n quelconque

    Si 1 <= unu_n <= a , alors
    2 <= 2Un <= a
    5 <= 2un+3 <=a

    euh......j'espère t'avoir mis sur la voix!!! moi je vois que cette solution mais je n'arrive pas a continuer!



  • Je ne vois pas 😞 , je comprend que pour P(n) , doit etre superieur a 1 , pour voir si elle est croissante , mais bon je vois pas :frowning2:
    Merci d'avance !



  • tu fais le principe de récurrence!!!!



  • Salut,

    tu peux préciser ton énoncé s'il te plaît ?

    N'y aurait-il pas des unu_n+1 et des un+1u_{n+1} ?? Utilise l'écriture en indice car sans ça on fait pas la différence !!
    Merci.



  • Voila, ma recurrence :
    Pour n=o , Un est vrai .
    On suppose que pour tout n >= 0 , Un est >= 1 !
    Donc Un+1 = ( 2Un+3 ) / ( Un +1 )
    2Un + 3 est toujours 2 fois supperieur a Un + 1 , pour tout n >= 0 , donc le rapport ( 2Un+3 ) / ( Un +1 ) sera toujours supperieur a 1 .
    Donc Un est >= 1 .
    Voila, ma recurrence qui est fausse ....
    Aidez moi !



  • c'est U
    n+1



  • Pour la 1re suite, les premiers termes montrent qu'elle n'est ni croissante ni décroissante

    http://pix.nofrag.com/ce/d9/69fdff9aeec97e77bf62e120423f.jpeg

    fig. avec Edugraphe.



  • La même expérimentation avec la seconde suite conduit à supposer qu'elle est croissante

    http://pix.nofrag.com/dc/a6/4807185f984dbd9e6310bbfc5a33.jpeg

    Il reste à le prouver proprement par récurrence...



  • Je viens de me rendre compte , serait-ce pas possible de faire :
    Citation
    Un+1 - Un = ( 2Un+3 ) / ( Un +1 ) - ( 2U
    n-1+3 ) / ( U
    n-1+1 ) ???
    si oui a la fin je trouve :
    (Un-1 - Un)/ (Un+1)(Un-1 +1) , mais la je sais pas comment savoir si elle est decroissante ou pas !
    Dites moi et aidez moi svp !
    Merci d'avance +



  • je pensais faire :
    signe Un-1 -Un = signe Un - Un+1
    signe Un - Un+1 = ...
    Jusqu'a signe Uo - U1 = 1 - 5/2 = -3/2 , mais le truc , pour faire cette technique , il faudrais que je connaisse le signe de (Un+1)(Un-1 +1) !
    Non ?? merci d'avance !



  • Je ne m'occupe que de la seconde, puisque le cas de la première suite est réglé plus haut, cf mon 1er schéma.

    La fonction associée est f(x) = (3x+2)/(x+1),
    dont la dérivée est f '(x) = 1/(x+1)² >= 0 pour tout x diff/ -1.

    Ainsi f est croissante sur ]-1 ; + inf/[ en particulier.

    Je suppose que tu connais le raisonnement par récurrence, ce qui est un peu bizarre en 1re... mais faisons avec.

    • Avec U1U_1 = f(1) = 2,5 >= 1 = U0U_0,
      on constate que la récurrence est fondée.

    • Supposons que UnU_n >= Un1U_{n-1}.
      Puisque la fonction f est croissante, alors on a f(Unf(U_n) >= f(Un1f(U_{n-1}),
      c'est-à-dire Un+1U_{n+1} >= UnU_n.

    • Le principe de récurrence montre donc que la suite (Un(U_n) est croissante.



  • merci Zauctore !


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