Recherche d'une fonction polynôme solution d'une équation différentielle


  • USR

    f′f'f désiqne la dérivé de fff et f′′f''f la dérivée seconde de fff. Déterminer une fonction polynôme fff telle que pour tout réels on ait :

    (x² - 2)f'' + (1-3x)f' + f = x^3 + 6x² - 2x + 4


  • Casebas
    Plombier

    Bonjour @USR ,

    Un petit rappel des règles du forum pour une réponse cordiale et dans les temps 😉 https://forum.mathforu.com/topic/1383/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message
    Et joyeuses fêtes !


  • B

    Salut,

    f:xf : xf:x --> A.x³ + B.x² + C.x + D

    Tu cherches :

    f'(x) = 3Ax² + ...
    f''(x) = ...

    Dans (x² - 2)f''(x) + (1-3x)f'(x) + f(x), tu remplaces f''(x) , f'(x) et f(x) par ce que tu a trouvé ci dessus.

    Tu développes le résultat et tu groupes les termes suivant les puissances de x.

    Tu identifies les termes de même puissance en x du résultat trouvé avec ceux de x³ + 6x² - 2x + 4

    Tu obtiens donc un système de 4 équations à 4 inconnues (A, B, C et D), qu'il faut résoudre.

    ...


  • mtschoon

    Bonjour,

    J'espère USR, qu'à l'avenir, tu tiendras compte des conseils de Casebas

    Su tu as besoin d'une vérification, sauf erreur, tu dois trouver

    $\fbox {f(x)=-\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2+\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}}$

    Bons calculs !


  • USR

    @casebas merci beaucoup j'ai bien lu 🙂


  • USR

    @black-jack merci !!!! c'était simplement la méthode qu'il me fallait ça m'a été d'une grande aide grâce à vous j'ai pu passer de bonnes fêtes sans avoir à me soucier de mes devoirs 🙂 💨


  • USR

    @mtschoon merci . Il y a un moyen de faire de la pub pour de site? Pour vous remercier c'est le minimum que je puisse faire 🙂


  • USR

    @mtschoon j'ai trouvé C=0 et D=6 et pour le A et B j'ai trouvé pareil que vous
    j'ai recommencer une dizaine de fois ^^' Je me demandais alors l'un de nous a eu un problème de calcul


  • mtschoon

    Si tu as besoin de vérifier, donne nous le système des 4 équations que tu as trouvé.

    Il peut y avoir une erreur dans une (ou plusieurs) équation(s) écrite(s) .


  • Casebas
    Plombier

    @usr N'hésite pas à en parler autour de toi oui, ou à faire un lien vers nous, c'est toujours apprécié 🙂 Content que l'on ait pu t'aider en tout cas, et à bientôt sur le forum !


  • USR

    @mtschoon
    f=Ax^3+Bx²+Cx+D
    f'=Ax²+Bx+C
    f''=Ax+B
    j'ai remplacé ça dans l'équation:
    (x²-2)(6Ax+2B) + (1-3x)(3Ax²+2BxC) + (Ax^3+Bx²+Cx+D) = x^3 + 6x² - 2x + 4
    j'ai développer puis factoriser par degrés
    x^3(-2A)+x²(-3B+3A)+x(-12A+2B+C-3)+2C+D-4B=x^3 + 6x² - 2x + 4
    après par identification j'ai le système suivant:
    x^3(-2A)=x^3
    x²(-3B+3A)=6x²
    x(-12A+2B+C-3)=-2x
    2C+D-4B=4
    Et en résolvant le système je trouve
    f(x)=-(x^3)/2-(5x²)/2+6


  • mtschoon

    Tu as peut-être fait des fautes en tapant ?

    f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d
    f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+cf(x)=3ax2+2bx+c
    f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2bf(x)=6ax+2b

    Equation générale :
    (x2−2)(6ax+2b)+(1−3x)(3ax2+2bx+c)+ax3+bx2+cx+d=x3+6x2−2x+4(x^2-2)(6ax+2b)+(1-3x)(3ax^2+2bx+c)+ax^3+bx^2+cx+d=x^3+6x^2-2x+4(x22)(6ax+2b)+(13x)(3ax2+2bx+c)+ax3+bx2+cx+d=x3+6x22x+4

    Vérifie le développement

    C'est bon pour les deux premières équations en a et b ( coefficients de x3x^3x3 et x2x^2x2)

    Revois les deux autres.

    Sauf erreur, il s'agit de

    −12a+2b−2c=−2-12a+2b-2c=-212a+2b2c=2 (coefficients de x)
    −4b+c+d=4-4b+c+d=44b+c+d=4 (termes constants)


  • USR

    @mtschoon c'est bon! j'ai ajouter un C dans mon développement c'est pour ça ^^'
    merci pour votre aide.


  • mtschoon

    De rien!

    A+