Recherche d'une fonction polynôme solution d'une équation différentielle

[USR]

$f^{\prime }$ désiqne la dérivé de $f$ et $f^{\prime \prime }$ la dérivée seconde de $f$. Déterminer une fonction polynôme $f$ telle que pour tout réels on ait :

(x² - 2)f'' + (1-3x)f' + f = x^3 + 6x² - 2x + 4

[Casebas]

Bonjour @USR ,

Un petit rappel des règles du forum pour une réponse cordiale et dans les temps https://forum.mathforu.com/topic/1383/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message
Et joyeuses fêtes !

[Black-Jack]

Salut,

$f:x$ --> A.x³ + B.x² + C.x + D

Tu cherches :

f'(x) = 3Ax² + ...
f''(x) = ...

Dans (x² - 2)f''(x) + (1-3x)f'(x) + f(x), tu remplaces f''(x) , f'(x) et f(x) par ce que tu a trouvé ci dessus.

Tu développes le résultat et tu groupes les termes suivant les puissances de x.

Tu identifies les termes de même puissance en x du résultat trouvé avec ceux de x³ + 6x² - 2x + 4

Tu obtiens donc un système de 4 équations à 4 inconnues (A, B, C et D), qu'il faut résoudre.

...

[mtschoon]

Bonjour,

J'espère USR, qu'à l'avenir, tu tiendras compte des conseils de Casebas

Su tu as besoin d'une vérification, sauf erreur, tu dois trouver

$\fbox {f(x)=-\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2+\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}}$

Bons calculs !

[USR]

@casebas merci beaucoup j'ai bien lu

[USR]

@black-jack merci !!!! c'était simplement la méthode qu'il me fallait ça m'a été d'une grande aide grâce à vous j'ai pu passer de bonnes fêtes sans avoir à me soucier de mes devoirs

[USR]

@mtschoon merci . Il y a un moyen de faire de la pub pour de site? Pour vous remercier c'est le minimum que je puisse faire

[USR]

@mtschoon j'ai trouvé C=0 et D=6 et pour le A et B j'ai trouvé pareil que vous
j'ai recommencer une dizaine de fois ^^' Je me demandais alors l'un de nous a eu un problème de calcul

[mtschoon]

Si tu as besoin de vérifier, donne nous le système des 4 équations que tu as trouvé.

Il peut y avoir une erreur dans une (ou plusieurs) équation(s) écrite(s) .

[Casebas]

@usr N'hésite pas à en parler autour de toi oui, ou à faire un lien vers nous, c'est toujours apprécié Content que l'on ait pu t'aider en tout cas, et à bientôt sur le forum !

[USR]

@mtschoon
f=Ax^3+Bx²+Cx+D
f'=Ax²+Bx+C
f''=Ax+B
j'ai remplacé ça dans l'équation:
(x²-2)(6Ax+2B) + (1-3x)(3Ax²+2BxC) + (Ax^3+Bx²+Cx+D) = x^3 + 6x² - 2x + 4
j'ai développer puis factoriser par degrés
x^3(-2A)+x²(-3B+3A)+x(-12A+2B+C-3)+2C+D-4B=x^3 + 6x² - 2x + 4
après par identification j'ai le système suivant:
x^3(-2A)=x^3
x²(-3B+3A)=6x²
x(-12A+2B+C-3)=-2x
2C+D-4B=4
Et en résolvant le système je trouve
f(x)=-(x^3)/2-(5x²)/2+6

[mtschoon]

Tu as peut-être fait des fautes en tapant ?

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$
$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$

Equation générale :
$(x^2-2)(6ax+2b)+(1-3x)(3a{x}^2+2bx+c)+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=x^3+6x^2-2x+4$

Vérifie le développement

C'est bon pour les deux premières équations en a et b ( coefficients de $x^3$ et $x^2$)

Revois les deux autres.

Sauf erreur, il s'agit de

$-12a+2b-2c=-2$ (coefficients de x)
$-4b+c+d=4$ (termes constants)

[USR]

@mtschoon c'est bon! j'ai ajouter un C dans mon développement c'est pour ça ^^'
merci pour votre aide.

[mtschoon]

De rien!

A+