limite de la fonction gamma en 0



  • Bonjour,
    je dois trouver la limite de la fonction gamma en 0. Je ne dois pas utiliser la relation entre gamma de x et gamma de x+1x+1x+1 car la démo est demandée dans les questions d'après.
    Je pense qu'il faut minorer gamma de xxx par l'intégrale entre 0 et 1 et ensuite minorer exp(−t)exp(-t)exp(t).
    Cependant je ne sais pas par quoi minorer et je n'arrive pas au résultat ( je trouve comme limite 0 et j'ai lu que c'était + l'infini).
    Merci
    Celine


  • Modérateurs

    Bonjour celine,

    Ton raisonnement est correct. Indique tes calculs.



  • Bonjour,

    Je vois Céline que tu t'es adressé précédemment à plusieurs forums pour tenter d'avoir de l'aide.
    Ce que tu as écrit, ce n'est pas ce que tu as fait mais ce qu'on t'a dit....et tu ne sais pas quoi faire...d'où ton absence de réponse ici...



  • Pour conjecturer la limite de de la fonction Gamma en 0 (par valeurs positives), tu peux commencer par consulter la représentation graphique de cette fonction "spéciale". Elle est peut-être dans ton cours.
    Je te joins son allure (c'est seulement son allure...faite avec quelques points)
    0_1515056607993_gamma.jpg
    Tu peux constater que la limite est bien +∞\infty

    Maintenant, il faut le prouver.



  • Essaie de minorer comme "on t'a dit" .

    ∫0+∞tx−1e−tdt>∫01tx−1e−tdt\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \gt \displaystyle \int _0^1 t^{x-1}e^{-t}dt0+tx1etdt>01tx1etdt

    Sur [0,1], tu peut minorer e−te^{-t}et par une constante positive

    t∈[0,1]t\in[0,1]t[0,1] donc et∈[1,e]e^ t \in [1,e]et[1,e] donc e−t∈[e−1,1]e^{-t} \in [e^{-1},1]et[e1,1]

    D'où

    ∫01tx−1e−tdt>e−1∫01tx−1dt\displaystyle\int _0^1 t^{x-1}e^{-t}dt \gt e^{-1}\displaystyle\int _0^1t^{x-1}dt01tx1etdt>e101tx1dt

    Une primitive de tx−1t^{x-1}tx1 est txx\frac{t^x}{x}xtx (pour x non nul)

    Tu dois pouvoir justifier que la dernière intégrale écrite a pour limite +∞+\infty+ lorsque x tend vers 0 (par valeurs positives) et tirer la conclusion souhaitée.

    Remarque : je n'aime guère manipuler ces intégrales "convergentes" pour lesquelles les justifications ne sont pas toujours à la hauteur...
    J'aurais préféré, par une IPP, utiliser la méthode qui n'est pas autorisée par ton énoncé...

    Bon courage.


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