Bijection, surjection, injection

Bonjour,
tout d'abord meilleurs voeux.
Je reviens après quelques semaines d'absences..., mais quel changement, il va falloir un temps d'adaptation

Est il possible d'avoir une vérif sur cet exercice?
Soit X= (0,1,2) et Y=(a,b,c).

si possible décrivez une bijection de X vers Y
0->a , 1->b, 2->c
si possible, décrivez une fonction non bijective de X vers Y.
0->a, 1-> b , 2->b
combien y a t-il de fonctions de X vers Y?
Je ne comprends pas le terme fonction
combien y a t-il de bijections de x vers y?
3 bijections possible
idem 4 avec les injections?
1 injection possible
idem 4 et 5 avec les surjections?
1 surjection possible

Merci par avance de votre vérification

Bonjour @dut2

Je laisse les experts en mathématiques te répondre sur ton exercice, et j'en profite pour te souhaiter la re-bienvenue sur le forum, et la bonne année !
N'hésite pas si tu as besoin d'aide pour prendre en main le nouveau forum et à très vite!

Bonjour Casebas

Bonjour Dut
Merci pour tes voeux et meilleurs voeux à toi.

Oui, tu découvres les "nouveaux locaux"...

Je regarde le début de tes réponses.
(Ce n'est pas une "experte" qui te répond, mais seulement "une prof de maths à la retraite"...)

Oui pour 1. et 2.

Pour la 3., il faut que tu regardes ton cours avec précision et que tu nous écrives le définition exacte indiquée.
Il y a une nuance entre le terme "application de X vers Y" et le mot " fonction de X vers Y" mais certains ne font pas la distinction...

Je t'indique les définitions mathématiques usuelles

f est une application de X vers Y si et seulement si tout élément de X a exactement une image dans Y
exemple : f : 0 -> a , 1 -> b , 2 -> b

g est une fonction de X vers Y si et seulement si tout élément de X a au plus une image dans Y
exemple : g : 0 -> a , 1 -> b , 2 -> (pas d'image dans Y)
{0,1} s'appelle ensemble de définition de la fonction g

En reprenant f : 0 -> a , 1 -> b , 2 -> b
f est aussi une fonction de X vers Y
Son ensemble de définition est X c'est à dire {0,1,2}

Ton cours fait-il la distinction entre "application" et "fonction" ?
Tiens nous au courant.
Tes réponses suivantes (bijections, injections, surjections) seront à revoir.
(Elles s'appliquent aux applications .de X vers Y).

Merci Mtschoon,
J'ai comme définition "Une fonction f d'un ensemble X vers 1 ensemble Y est 1 moyen d'associer chaque élément de X à un élément de Y".
Ce qui correspond à votre première définition.
C'est exactement la même définition que bijection?

Pour les questions d,e,f Je ne comprends pas ce qui ne va pas.

Bonjour dut2,

Pour les questions d,e et f, vérifie le nombre proposé.

après vérification je trouve
d) 3
e)3
f)3
Surement faux car vous dites que d est faux alors que je continue à trouver 3.
Je vais des "patatoides" difficile à représenter sur le forum.

Donc, ton cours, Dut, ne fait pas le distinction entre le mot "application" et le mot "Fonction"...Je m'en doutais un peu...

Tu dois donc utiliser la définition que je t'ai donné pour le mot "application de X vers Y" : tout élément de X a exactement une image dans Y
Pour la définition de "Bijection", revois ton cours (ainsi que pour injections et surjections , d'ailleurs).

Pistes,
3) Pour le nombre d'applications de E vers F.
Tu peux, bien sûr, essayer des les énumérer ( en faisant des patatoïdes par exemple), mais ce sera fort long.
Si le nombre d'éléments était important, ce serait presque impossible.

Le mieux est de raisonner.
0 a 3 images possibles (a, b, c)
Lorsque l'image de a est choisie, b a à nouveau 3 images possibles (a, b, c)
Lorsque l'image de a et celle de b sont choisies, c a à nouveau 3 images possible (a, b, c)
Au final, le nombre d'applications (que tu appelles Fonctions) est $\times 3 \times 3=3^3=27$

Pour le nombre de bijections , ta réponse n'est pas bonne [ainsi que pour 5) et 6) car ici, comme les deux ensembles X et Y ont le même nombre d'éléments, on trouve pareil au 4) 5) et 6)].

Essaie de raisonner comme pour la 3)

Très bien, donc d), e) et f) =27 si on raisonne comme la question d'avant.

Raisonner comme à la question d'avant ne veut pas dire trouver pareil, vu que l'on ne cherche pas la même chose.!

Tu ne sembles pas bien maîtriser la notion de bijection.Revois-la.

Raisonnement :
0 a 3 images possibles (a, b, c)
Lorsque l'image de 0 est choisie, 1 a 2 images possibles seulement ( l'image de 1 ne peut pas être la même que celle de 0)
Lorsque l'image de 0 et celle de 1 sont choisies, 2 a seulement une image possible (l'image de 2 ne peut pas être l'image de 0 ni celle de 1)
Au final, le nombre de bijections est : $\times 2 \times 1=6$

Tu pourrais aussi (vu que le nombre d'éléments est réduit) expliciter les bijections (en faisant éventuellement des patatoïdes) :

Dans l'ordre écrit, les images de (1,2,3) , par bijection, sont (a,b,c), (a,c,b), (b,c,a), (b,a,c),(c,a,b), (c,b,a)
Tu trouves ainsi 6 bijections.
(Bien sûr, on ne peux pas pratiquer ainsi lorsqu'il y a un grand nombre d'éléments, alors que le raisonnement logique est toujours simple)

Bonnes réflexions !

Merci Pour tout Mtschoon.

De rien Dut !

Bon travail.