Jeu de loto probabilité



  • Bonjour,
    J'ai un exercice de probabilité à faire et j'aurais besoin de votre aide.

    L'énoncé est le suivant :
    "Dans le jeu de loto, chaque semaine sont tirés 5 nombres d'une urne contenant 90 boules numérotés de 1 à 90. Le tirage est sans remise. Fixons un nombre le 67. Appelons p la probabilité qu'il soit tiré lors d'un tirage hebdomadaire."

    1) Quelle est la valeur de p ?
    Omega= ensemble de 5 boules sans remise ={(b1,b2,b3,b4,b5) : b_i ≠ b_j, b_i ∈ {1,...,90}}
    A="tirer le numéro 67"
    Card(Omega)=(9089888786)/(5!)
    Card(A)=(898887*86)/(4!)
    p=Card(A)/Card(Omega)=5/90

    2) Quelle est la probabilité qu'après 30 semaines le 67 n'ait pas été tiré ? Combien de semaines faut il en moyenne pour obtenir ce numéro ?

    3) Supposons que dans les 100 premières semaines le 67 n'ait pas tiré. Quelle est la probabilité qu'il soit tiré la semaine suivante ? Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas tiré avant la 130-eme semaine ?

    Pouvez vous me dire si la première question est juste et me donner une piste pour les suivantes ?

    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Bonjour mimo

    Vérifie ta définition de l'ensemble oméga et de l'ensemble A.



  • Oups j'ai oublié les signes multipliés :
    Card(Omega)=(9089888786)/(5!)
    Card(A)=(898887*86)/(4!)
    Est-ce mieux comme ça ?


  • Modérateurs

    mimo,

    Il manque toujours le signe multiplier !
    Tu peux simplifier 5/90 = ....

    Question 2,
    Quelle est la probabilité de l'évènement contraire ?



  • @noemi Bizarre, pourtant quand je tape mon message, ils y étaient.
    Question 2 : Comme la probabilité d'obtenir le numéro 67 est 5/90 soit 1/18, alors la probabilité de ne pas obtenir le numéro 67 est 17/18. Par contre, je ne suis pas sûre pour la traduction de "après 30 semaines", est-ce qu'il faut multiplier cette probabilité par 30, où ce n'est pas la bonne méthode ?


  • Modérateurs

    Comment évolue la probabilité d'une semaine à l'autre ?
    Le résultat du précédent tirage influe t-il le suivant ?



  • Pour moi, la probabilité reste la même d'une semaine sur l'autre. On aura autant de chance d'avoir le numéro 67.


  • Modérateurs

    Bonjour mimo,

    C'est la réponse.



  • Pour la deuxième partie de la question 2, je pense qu'il faut calculer l'espérance afin de trouver la moyenne.

    S=somme sur i de 1 à 90 (i différent de 67) = ((90*(90+1))/2)-67
    E[X]=67*(1/18)+17/18*S=68543/18

    Quand pensez-vous ?


  • Modérateurs

    La probabilité est de 1/18, donc en moyenne ...



  • Comme la probabilité est de 1/18, il faut donc 18jours en moyenne pour avoir le numéro ?


  • Modérateurs

    C'est correct.



  • Pour la troisième question il faut utiliser la probabilité conditionnelle.
    Soit X_i = tirer le numéro 67 la semaine i
    X_i appartient à {0,1} où 0 est l'échec et 1 le succès.
    On cherche donc : P(X_101 = 1 | X_1 =0,..., X_100 = 0) = P(X_101 = 1,X_1 =0,..., X_100 = 0)/P(X_1 =0,...,X_100 = 0)


  • Modérateurs

    Quelle différence y a t-il entre les questions 2 et 3 ?



  • On parle de ne pas tirer le numéro au bout de 100 jours (au lieu de 30 dans la question précédente). Donc je sais calculer cette probabilité qui vaut 100*(17/18). Mais comment calculer celle du 101eme sachant cela..


  • Modérateurs

    Bonjour mimo,
    1700/18 ? Une probabilité > 1 est-elle possible ?
    La probabilité que le 67 ne soit pas tiré est 17/18.
    La probabilité que le 67 soit tiré est 1/18.



  • @noemi Je n'ai pas bien lu ce que j'ai écris effectivement. La probabilité est comprise entre 0 et 1.
    Les tirages sont indépendants d'une semaine sur l'autre. Donc la probabilité va rester la même d'une semaine sur l'autre.


  • Modérateurs

    Exact c'est la réponse.


 

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