PROBABILITE / TIRAGE DE BOULES

[hiba]

bonsoir
énoncé: deux variables x et y
x : le nombre de boules noires tirés par un joueur A avant de trier une boule blanche
y: le nombre de boules noires tirés par un joueur b avant de trier une boule blanche ( s'il ne reste plus de boules noires y=0)
b effectue des tirages successifs avec remise tandis que A sans remise
on a 2 boules noires et 2 boules blanches
j'ai les elements de réponse masi j'ai pas compris la solution
pour p(y=0)= 1/2 et pour p(x=1) intersection (y=i)
pour p(x=2) intersection p(y=i)=0
MERCI

[mtschoon]

Bonjour hiba,

Si tu as besoin d'explications, je te conseille de recopier l'énoncé soigneusement comme ton manuel l'écrit.

Tu n'indiques pas comment est organisé le jeu entre les deux joueurs.

En plus, il y a certainement des fautes de frappe " trier" ??

Merci pour les clarifications souhaitées.

[hiba]

@mtschoon
soient b et n deux entiers avec n supérieur ou égal 1 et b supérieur ou égal à 2 on considère une boule contenant n= 2 boules noires et b=2 boules blanches
un joueur A effectue des tirages successifs d'une boule sans remise dans l'urne jusqu’à obtenir une boule blanche.il laisse alors la place au joueur B qui effectue des tirages successifs d'une boule avec remise dans l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche.on note X la variable aléatoire réelle égal au nombre de boules noires tirés par A avant de tirer une boule blanche et on note Y la variable aléatoire égal au nombre de boules noires tirés par B avant de tirer une boule blanche (s'il ne reste plus de boule noire on donc Y=0)
p(y=0)= 1/2
p((x=1)signe d' intersection (y=i))
p((x=2)signed' intersection (y=i))=0

[mtschoon]

Bonjour,

Merci d'avoir recopié.
On comprend maintenant la situation des deux joueurs.

Je t'indique les pistes à suivre mais , vu la longueur, je ne peux pas détailler toutes les valeurs.
Raisonne en réfléchissant à la couleur de la boule tirée par rapport aux nombre de boules restants dans l'urne.
Tu peux t'aider d'un arbre probabiliste

x=0 : A tire une blanche p(x=0)=2/4=1/2

x=1 : A tire une noire puis une blanche p(x=1)=(2/4).(2/3)=1/3

x=2 : A tire une noire puis une noire puis une blanche
p(x=2)=(2/4)(1/3)(1/1)=1/6

Il n'y a pas d'autres cas pour X vu qu'il n'y a que 2 noires.

Pour P(y=0) il y a 3 cas possibles à ajouter, suivant le résultat de x (0 ou 1 ou 2)
$\fbox{p(y=0)=P(x=0).P_{x=0}(y=0)+P(x=1).P_{x=1}(y=0)+P_{x=2}.P_{x=2}(y=0)}$

P(y=0)=(1/2)(1/3)+(1/3)(1/2)+(1/6)(1/1)=1/2

Tu ne précises pas la valeur de i.

$\fbox{P[(x=1)\cap(y=i)]=P(x=1).P_{x-1}(y=i)}$
Lorsque l'évènement x=1 est réalisé, dans l'urne il reste une boule noire et une boule blanche
Sachant que x=1 est réalisé, lorsque B commence à jouer , l'évènement y=i est composé de noire puis noire...puis noire (i fois) puis blanche

$P_{x=1}(y=i)=(\frac{1}{2}{)}^i.(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2}{)}^{i+1}$

Donc :

$P[(x=1)\cap (y=i)]=(\frac{1}{3}).(\frac{1}{2}{)}^{i+1}$

Tu raisonne de la même façon pour x=2

[hiba]

@mtschoon pour p((x=2) signe d'inersection(y=i))= 1/6*0
puique le joueur A a tiré 2 noires donc le joueur B ne lui reste aucune boule noire pour jouer c'est exacte!!!!
d'apres votre solution j'ai compris qu'il n y a pas d’indépendance dans l'exercice puisque le tirage de B est influencé par le tirage de A et que les deux tires de la meme urne et que b continue le tirage après que A trouve la boule blanche
en tous cas je vous remercie énormément et bonne soirée ;

[mtschoon]

Ta réponse pour x=2 est exacte .
Je pense que tu as bien compris.
Bonne soirée !