Integration fraction rationelle


  • S

    Bonjour,

    Je dois calculer l'intégrale suivante, mais je bloque à la fin.

    Voici l'intégrale:

    Int (2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx à intégrer de 0 à 1

    J'ai déjà réussis à intégrer la première partie, et je me retrouve a devoir intégrer au final
    Int 1/(x^2+x+1)^2 dx

    Seulement ici, je bloque. Je ne vois pas quel est le bon changement de variable, j'avais pensé à arctan mais comme on a un carré au dénominateur...

    Merci d'avance !

    Pierre


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir shadowin930,

    Comme par écrire la forme canonique de x2+x+1x^2+x+1x2+x+1
    x2+x+1x^2+x+1x2+x+1 = .....
    Puis effectue des changements de variables
    u=x+12u = x + \dfrac{1}{2}u=x+21
    .....


  • mtschoon

    @shadowin930

    shadowin930, je suppose que tu es sûr de ton énoncé, mais vraiment, c'est tentant de penser que s'il y avait un + au numérateur, tu aurais une primitive usuelle directement...

    ∫012x+1(x2+x+1)2dx=[−1x2+x+1]01=23\int_0^1\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}dx=[ \frac{-1}{x^2+x+1}]_0^1=\frac{2}{3}01(x2+x+1)22x+1dx=[x2+x+11]01=32

    Ou bien encore

    ∫012x−1(x2−x+1)2dx=[−1x2−x+1]01=0\int_0^1\frac{2x-1}{(x^2-x+1)^2}dx=[ \frac{-1}{x^2-x+1}]_0^1=001(x2x+1)22x1dx=[x2x+11]01=0

    Je te laisse dialoguer avec Noemi, si l'énoncé que tu as indiqué est bien exact, mais vérifie tout de même.


  • B

    Salut,

    Int 1/(x^2+x+1)^2 dx

    x²+x+1 = (x+1/2)² + 3/4

    Poser (x + 1/2) = (V3)/2 * y (grand classique)

    On est alors ramené directement à une forme : k . Int 1/(1+y²) dy
    ce qui est immédiat.

    😎


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