Integration fraction rationelle

Bonjour,

Je dois calculer l'intégrale suivante, mais je bloque à la fin.

Voici l'intégrale:

Int (2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx à intégrer de 0 à 1

J'ai déjà réussis à intégrer la première partie, et je me retrouve a devoir intégrer au final
Int 1/(x^2+x+1)^2 dx

Seulement ici, je bloque. Je ne vois pas quel est le bon changement de variable, j'avais pensé à arctan mais comme on a un carré au dénominateur...

Merci d'avance !

Pierre

Bonsoir shadowin930,

Comme par écrire la forme canonique de $x^2+x+1$
$x^2+x+1$ = .....
Puis effectue des changements de variables
$\dfrac{1}{2}$
.....

@shadowin930

shadowin930, je suppose que tu es sûr de ton énoncé, mais vraiment, c'est tentant de penser que s'il y avait un + au numérateur, tu aurais une primitive usuelle directement...

$∫012x+1(x2+x+1)2dx=[−1x2+x+1]01=23\int_0^1\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}dx=[ \frac{-1}{x^2+x+1}]_0^1=\frac{2}{3}$

Ou bien encore

$∫012x−1(x2−x+1)2dx=[−1x2−x+1]01=0\int_0^1\frac{2x-1}{(x^2-x+1)^2}dx=[ \frac{-1}{x^2-x+1}]_0^1=0$

Je te laisse dialoguer avec Noemi, si l'énoncé que tu as indiqué est bien exact, mais vérifie tout de même.

Salut,

Int 1/(x^2+x+1)^2 dx

x²+x+1 = (x+1/2)² + 3/4

Poser (x + 1/2) = (V3)/2 * y (grand classique)

On est alors ramené directement à une forme : k . Int 1/(1+y²) dy
ce qui est immédiat.