Dm dérivées , signe et tableau de variation



  • salut,voilà j'ai un dm a finir pour demain mais je n'arrive pas a faire la question b et c du 2
    Une citerne métallique à ciel ouvert , destinée à recueillir de l'eau pluviale , a la forme d'un pavé rectangle à base carrée et un volume de 4m(au cube) (les dimensions sont en m)
    f(x) =x²+16/x=(x(au cube)+16)/x
    b) calculer la dérivée de f(x) , étudier son signe , et donner le tableau de variation de f sur ]0;5[
    c) en déduire la valeur de x pour l'aquelle la surface à peindre est minimal.
    voilà merci



  • Bonjour,

    Tu n'a guère détaillé ton énoncé !
    J'essaie de le comprendre.
    x est le côté de la base carrée.
    Soit h la hauteur du pavé et V le volume
    V=x2×hV=x^2\times h <=> 4=x2×h4=x^2\times h<=> h=4x2h=\frac{4}{x^2}

    f(x) doit être la surface à peindre (le dessus carré et les 4 faces latérales)
    C'est ainsi que tu as dû trouver
    f(x)=x2+4(x×4x2)=x2+16x=x3+16x\fbox{f(x)=x^2+4(x\times \frac{4}{x^2})=x^2+\frac{16}{x}=\frac{x^3+16}{x}}

    Tu dois étudier les variations de f sur ]0,5[

    Je te commence le travail ( à toi de le poursuivre)

    Pour calculer f'(x) tu as le choix en fonction des formules vues dans ton cours.
    en utilisant f(x)=x2+16x=x2+16(1x)f(x)=x^2+\frac{16}{x}=\fbox{x^2+16(\frac{1}{x})}
    la dérivée de x2x^2 est 2x
    la dérivée de 1x\frac{1}{x} est 1x2-\frac{1}{x^2}

    donc f(x)=2x+16(1x2)=2x16x2=2x316x2'(x)=2x+16(-\frac{1}{x^2})=2x-\frac{16}{x^2}=\fbox{\frac{2x^3-16}{x^2}}

    Sur ]0,5[, x2>0x^2 \gt 0

    le signe de la dérivée est donc le signe du numérateur 2x3162x^3-16

    2x316=02x^3-16=0 <=> 2x3=162x^3=16 <=> x3=8x^3=8 <=> x=.................

    Je te laisse poursuivre en pensant que 8=238=2^3

    Reposte si besoin.


 

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