Probabilité - Couple de variables aléatoires

Bonjour,

J'ai commencé un nouvel exercice sur les variables aléatoires.

L'énoncé est:
Soient U et V deux variables de Bernoulli de même paramètre p. On pose X=U+V et Y=U-V

Déterminer la loi du couple (X,Y)

je fais un tableau (si j'ai bien compris )

X 0 1 2
Y
-1 0 0
0 0
1 0 0

Par contre je n'arrive à placer que les 0 après je ne sais pas comment déterminer les valeurs.

Les variables X et Y sont -elles indépendantes?

Je ne sais pas comment le déterminer néanmoins je pense que c'est lié à la question du dessus.

Merci

0_1521375266115_Capture du 2018-03-18 13-13-58.png

Le tableau sera peut-etre plus lisible comme ca, enfin je l'espère

Je viens de trouver un exercice qui explique les variables dépendantes. J'ai compris qu'il faut prouver que p(X n Y) = p(X) x p(Y)
Il y avait un exemple avec des cartes que j'ai compris mais dans ce cas je ne vois pas trop.
Peut etre faut il prendre U=V=1
Et faire les calcul donc X=2 et Y=0??

Bonjour raphael_

Construis un tableau des valeurs possibles de U et V, puis calcule les probabilités.

Re-bonjour Raphael,

Je te suggère de commencer par voir ton cours les variables de Bernoulli de paramètre p . C'est indispensable.

Je te mets les cas

U=0 et V=0 donc X=U+V=0 et Y=U-V=0 probabilité (1-p)²
U=0 et V=1 donc X=U+V=1 et Y=U-V=-1 probabilité (1-p)p
U=1 et V=0 donc X=U+V=1 et Y=U-V=1 probabilité p(1-p)
U=1 et V=1 donc X=U+V=2 et Y=U-V=0 probabilité p²

Tu fais un tableau où tu mets X/Y en colonne/ligne selon tes habitudes.
Tu remplis les cases avec les probabilité trouvées.
Les cases vides ont pour probabilité 0

Ensuite, il te faudra compléter avec les probabilités marginales pour étudier l'indépendance ( ou la non-indépendance) de X et Y, mais, tu n'en es pas là.

Bonjour Noemi .
Désolée, je n'avais pas vu ta réponse !
Plus précisément , ta réponse n'était pas là lorsque j'ai commencé à taper une explication..

Bonjour Noémi, bonjour Mtschoon,
Comme je le disais dans le premier problème demandé, il n'y a pas eu de cours sur les probabilités mais juste des séances de TD car tout le monde à étudié ce chapitre durant le bac et ou la prépa. Nous sommes seulement 2 à découvrir ce chapitre et on nous a gentiment dit de chercher comme des grands les cours associés sur internet. Ce que j'essaie de faire.
Mtschoon concernant votre réponse je ne comprends pas comment obtenir ces résultats.
Merci

raphael_ ,

Un lien vers un cours qui peut te fournir des éléments : https://www.normalesup.org/~glafon/carnot09/couples.pdf
Peut-être tu l'as déjà consulté.

Pour la définition d'une variable aléatoire de Bernoulli, regarde ici, si tu as besoin :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Variables_aléatoires_discrètes/Loi_de_Bernoulli
Cela s'applique dans ton exercice à U et à V

J'explicite un peu le principe de ton exercice.

U et V prenant les valeurs 0 et 1, je pense que tu comprends qu'il y a 4 cas pour (U,V] : (0,0] , (0,1], (1,0] ,(1,1]

Dans chacun de ces cas, tu déduis les valeurs de X et Y correspondantes

Dans chacun de ces cas, tu calcules la probabilité correspondante
exemples
U=0 a la probabilité (1- p), V=0 a la probabilité (1-p), donc "U=0 et V=0" a la probabilité $(1−p)×(1−p)=(1−p)2(1-p)\times (1-p)=(1-p)^2$

U=0 a la probabilité (1-p), V=1 a la probabilité p, donc "U=0 et V=1" a la probabilité $(1−p)×p(1-p)\times p$

Tu continues ainsi pour les deux autres cas.

Ensuite, pour faire le tableau (disposition pratique) relatif à (X,Y) je te mets un lien pour loi conjointe et lois marginales
Il y a les définitions écrites simplement et un exemple ( qui n'a rien à voir avec ton exercice) qui me parait clair et dont tu pourras t'inspirer.
http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/conjointe.html

Bon courage !

Je te joins le tableau pour loi conjointe et lois marginales de ton exercice
Essaie de le comprendre , et bien sûr demande si ce n'est pas le cas.
(la loi conjointe est en noir et les lois marginales sont en rouge)

Bonsoir Noemi, Bonsoir Mtschoon,
Je suis vraiment étonné mais j'ai compris. Grâce à vos explications j'ai pu faire l'exercice seul et vérifier grâce à la correction que vous m'avez faite.
En tout cas Merci beaucoup je ne pensais pas que la loi de Bernoulli était si facile.

Bonne soirée et à bientot.

C'est parfait !

J'espère que tu as conclu sur la non-indépendance ou l'indépendance de X et Y.

Bonne soirée à toi .

pour la dépendance je sais qu'il faut prouver que P(X n Y) = p(X) x p(Y)
pour P(X n Y) je trouve {0,1+ par contre comment trouver p(X) et p(Y)?

J'essaie de t'expliquer la notion d'indépendance et de non indépendance.

Comme indiqué dans le lien proposé, X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout $x_i$ et pour tout $y_j$
$\fbox{P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(y_j)}$
Cela peut s'écrire
$\fbox{P((X=x_i)\cap (Y=y_j))=P(X=x_i)\times P(Y=y_j)}$

S'il existe (au moins) une valeur de $x_i$ et une valeur de $y_j$ pour lesquelles cette égalité est fausse, X et Y ne sont pas indépendantes.

Un exemple,
X=2 et Y=-1
En prenant l'intersection de la ligne horizontale correspondant à X=2 et la colonne verticale correspondant à Y=-1, tu trouves la case où il est indiqué 0 en noir
Cela veut dire $\cap (Y=-1))=0$ (loi conjointe)
En suivant la ligne horizontale correspondant à X=2, tu arrives à p² écrit en rouge
Cela veut dire $P(X=2)=p^2$ (loi marginale)
En suivant la colonne verticale correspondant à Y=-1, tu arrives à p-p² écrit en rouge
Cela veut dire $P(Y=-1)=p-p^2$ (loi marginale)

Calcul :
$P(X=2)×P(Y=−1)=p2(p−p2)P(X=2)\times P(Y=-1)=p^2(p-p^2)$

Il faut donc étudier $p^2(p-p^2)=0$

$p^2(p-p^2)=0$ <=> $p^2=0$ ou $p-p^2=0$ <=> $p = 0$ ou $p (1 - p) = 0$ <=> $p = 0$ ou $p = 1$

Conclusion : dans le cas général $\lt p \lt 1$ l'égalité est fausse. X et Y ne sont donc pas indépendantes.

Dans les cas extrêmes de $p = 0$ et $p = 1$ , si tu analyses tout le tableau, tu dois trouver que X et Y sont indépendantes

Bon travail !

Bonsoir,
Je ne comprends pas comment vous trouvez ca:
0_1521660738345_Capture du 2018-03-21 20-31-43.png

Merci beaucoup

Bonjour,

Je ne sais pas précisément ce qui te gène : trouver l'équation ou la résoudre ...? ? ?

Dans le doute, j'essaie de détailler ces deux points.

Tu sais que :
$\cap (Y=-1))= 0$
$P(X=2)=p^2$
$P(Y=-1)=p-p^2$
Donc:
$P(X=2)×P(Y=−1)=p2(p−p2)P(X=2)\times P(Y=-1)=p^2(p-p^2)$
Pour l'indépendance, la question est :
$\fbox{P(X=2)\times P(Y=-1)= P((X=2) \cap (Y=-1))}$ ?
En remplaçant chaque probabilité par sa valeur, la question devient :
$\fbox{p^2(p-p^2)=0}$ ?
Résolution de cette équation $\fbox{p^2(p-p^2)=0}$

Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul
Donc deux cas : $p^2=0$ ou $p-p^2=0$
1er cas $p^2=0$ <=> $p=0\fbox{p=0}$
2ème cas : $p-p^2=0$
en factorisant : $p (1 - p) = 0$
En utilisant encore une fois la propriété "Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul", on obtient
$p=0\fbox{p=0}$ ou $1-p=0\fbox{1-p=0}$
en transposant $1 - p = 0$ <=> $1 = p$ <=> $p=1\fbox{p=1}$

Les deux valeurs de p pour lesquelles X et Y sont indépendantes sont donc 0 et 1

Vu que par définition $\le p \le 1$ , tu déduis que pour $\lt p\lt 1$ X et Y ne sont pas indépendantes (on peut dire bien sûr que X et Y sont dépendantes, mais comme l' indépendance est la propriété importante, on utilise plutôt l'expression "ne sont pas indépendantes".