Probabilité - Couple de variables aléatoires



  • Bonjour,

    J'ai commencé un nouvel exercice sur les variables aléatoires.

    L'énoncé est:
    Soient U et V deux variables de Bernoulli de même paramètre p. On pose X=U+V et Y=U-V

    1. Déterminer la loi du couple (X,Y)

    je fais un tableau (si j'ai bien compris )

    X 0 1 2
    Y
    -1 0 0
    0 0
    1 0 0

    Par contre je n'arrive à placer que les 0 après je ne sais pas comment déterminer les valeurs.

    1. Les variables X et Y sont -elles indépendantes?

    Je ne sais pas comment le déterminer néanmoins je pense que c'est lié à la question du dessus.

    Merci



  • 0_1521375266115_Capture du 2018-03-18 13-13-58.png

    Le tableau sera peut-etre plus lisible comme ca, enfin je l'espère



  • Je viens de trouver un exercice qui explique les variables dépendantes. J'ai compris qu'il faut prouver que p(X n Y) = p(X) x p(Y)
    Il y avait un exemple avec des cartes que j'ai compris mais dans ce cas je ne vois pas trop.
    Peut etre faut il prendre U=V=1
    Et faire les calcul donc X=2 et Y=0??



  • Bonjour raphael_

    Construis un tableau des valeurs possibles de U et V, puis calcule les probabilités.



  • Re-bonjour Raphael,

    Je te suggère de commencer par voir ton cours les variables de Bernoulli de paramètre p . C'est indispensable.

    Je te mets les cas

    U=0 et V=0 donc X=U+V=0 et Y=U-V=0 probabilité (1-p)²
    U=0 et V=1 donc X=U+V=1 et Y=U-V=-1 probabilité (1-p)p
    U=1 et V=0 donc X=U+V=1 et Y=U-V=1 probabilité p(1-p)
    U=1 et V=1 donc X=U+V=2 et Y=U-V=0 probabilité

    Tu fais un tableau où tu mets X/Y en colonne/ligne selon tes habitudes.
    Tu remplis les cases avec les probabilité trouvées.
    Les cases vides ont pour probabilité 0

    Ensuite, il te faudra compléter avec les probabilités marginales pour étudier l'indépendance ( ou la non-indépendance) de X et Y, mais, tu n'en es pas là.



  • Bonjour Noemi .
    Désolée, je n'avais pas vu ta réponse !
    Plus précisément , ta réponse n'était pas là lorsque j'ai commencé à taper une explication..



  • Bonjour Noémi, bonjour Mtschoon,
    Comme je le disais dans le premier problème demandé, il n'y a pas eu de cours sur les probabilités mais juste des séances de TD car tout le monde à étudié ce chapitre durant le bac et ou la prépa. Nous sommes seulement 2 à découvrir ce chapitre et on nous a gentiment dit de chercher comme des grands les cours associés sur internet. Ce que j'essaie de faire.
    Mtschoon concernant votre réponse je ne comprends pas comment obtenir ces résultats.
    Merci



  • raphael_ ,

    Un lien vers un cours qui peut te fournir des éléments : https://www.normalesup.org/~glafon/carnot09/couples.pdf
    Peut-être tu l'as déjà consulté.



  • Pour la définition d'une variable aléatoire de Bernoulli, regarde ici, si tu as besoin :
    https://fr.wikiversity.org/wiki/Variables_aléatoires_discrètes/Loi_de_Bernoulli
    Cela s'applique dans ton exercice à U et à V

    J'explicite un peu le principe de ton exercice.

    U et V prenant les valeurs 0 et 1, je pense que tu comprends qu'il y a 4 cas pour (U,V] : (0,0] , (0,1], (1,0] ,(1,1]

    Dans chacun de ces cas, tu déduis les valeurs de X et Y correspondantes

    Dans chacun de ces cas, tu calcules la probabilité correspondante
    exemples
    U=0 a la probabilité (1- p), V=0 a la probabilité (1-p), donc "U=0 et V=0" a la probabilité (1p)×(1p)=(1p)2(1-p)\times (1-p)=(1-p)^2

    U=0 a la probabilité (1-p), V=1 a la probabilité p, donc "U=0 et V=1" a la probabilité (1p)×p(1-p)\times p

    Tu continues ainsi pour les deux autres cas.

    Ensuite, pour faire le tableau (disposition pratique) relatif à (X,Y) je te mets un lien pour loi conjointe et lois marginales
    Il y a les définitions écrites simplement et un exemple ( qui n'a rien à voir avec ton exercice) qui me parait clair et dont tu pourras t'inspirer.
    http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/conjointe.html

    Bon courage !



  • Je te joins le tableau pour loi conjointe et lois marginales de ton exercice
    Essaie de le comprendre , et bien sûr demande si ce n'est pas le cas.
    (la loi conjointe est en noir et les lois marginales sont en rouge)

    0_1521450303296_Bernoulli.jpg



  • Bonsoir Noemi, Bonsoir Mtschoon,
    Je suis vraiment étonné mais j'ai compris. Grâce à vos explications j'ai pu faire l'exercice seul et vérifier grâce à la correction que vous m'avez faite.
    En tout cas Merci beaucoup je ne pensais pas que la loi de Bernoulli était si facile.

    Bonne soirée et à bientot.



  • C'est parfait !☺

    J'espère que tu as conclu sur la non-indépendance ou l'indépendance de X et Y.

    Bonne soirée à toi .



  • pour la dépendance je sais qu'il faut prouver que P(X n Y) = p(X) x p(Y)
    pour P(X n Y) je trouve {0,1+ par contre comment trouver p(X) et p(Y)?



  • J'essaie de t'expliquer la notion d'indépendance et de non indépendance.

    Comme indiqué dans le lien proposé, X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout xix_i et pour tout yjy_j
    P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)×P(yj)\fbox{P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(y_j)}
    Cela peut s'écrire
    P((X=xi)(Y=yj))=P(X=xi)×P(Y=yj)\fbox{P((X=x_i)\cap (Y=y_j))=P(X=x_i)\times P(Y=y_j)}

    S'il existe (au moins) une valeur de xix_iet une valeur de yjy_j pour lesquelles cette égalité est fausse, X et Y ne sont pas indépendantes.

    Un exemple,
    X=2 et Y=-1
    En prenant l'intersection de la ligne horizontale correspondant à X=2 et la colonne verticale correspondant à Y=-1, tu trouves la case où il est indiqué 0 en noir
    Cela veut dire P((X=2)(Y=1))=0P((X=2) \cap (Y=-1))=0 (loi conjointe)
    En suivant la ligne horizontale correspondant à X=2, tu arrives à écrit en rouge
    Cela veut dire P(X=2)=p2P(X=2)=p^2 (loi marginale)
    En suivant la colonne verticale correspondant à Y=-1, tu arrives à p-p² écrit en rouge
    Cela veut dire P(Y=1)=pp2P(Y=-1)=p-p^2 (loi marginale)

    Calcul :
    P(X=2)×P(Y=1)=p2(pp2)P(X=2)\times P(Y=-1)=p^2(p-p^2)

    Il faut donc étudier p2(pp2)=0p^2(p-p^2)=0

    p2(pp2)=0p^2(p-p^2)=0 <=>p2=0p^2=0 ou pp2=0p-p^2=0 <=>p=0p=0 ou p(1p)=0p(1-p)=0 <=> p=0p=0 ou p=1p=1

    Conclusion : dans le cas général 0<p<10 \lt p \lt 1 l'égalité est fausse. X et Y ne sont donc pas indépendantes.

    Dans les cas extrêmes de p=0p=0 et p=1p=1, si tu analyses tout le tableau, tu dois trouver que X et Y sont indépendantes

    Bon travail !



  • Bonsoir,
    Je ne comprends pas comment vous trouvez ca:
    0_1521660738345_Capture du 2018-03-21 20-31-43.png

    Merci beaucoup



  • Bonjour,

    Je ne sais pas précisément ce qui te gène : trouver l'équation ou la résoudre ...? ? ?

    Dans le doute, j'essaie de détailler ces deux points.

    1. Tu sais que :
      P((X=2)(Y=1))=0P((X=2) \cap (Y=-1))= 0
      P(X=2)=p2P(X=2)=p^2
      P(Y=1)=pp2P(Y=-1)=p-p^2
      Donc:
      P(X=2)×P(Y=1)=p2(pp2)P(X=2)\times P(Y=-1)=p^2(p-p^2)
      Pour l'indépendance, la question est :
      P(X=2)×P(Y=1)=P((X=2)(Y=1))\fbox{P(X=2)\times P(Y=-1)= P((X=2) \cap (Y=-1))} ?
      En remplaçant chaque probabilité par sa valeur, la question devient :
      p2(pp2)=0\fbox{p^2(p-p^2)=0} ?

    2. Résolution de cette équation p2(pp2)=0\fbox{p^2(p-p^2)=0}

    Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul
    Donc deux cas : p2=0p^2=0 ou pp2=0p-p^2=0
    1er cas p2=0p^2=0 <=> p=0\fbox{p=0}
    2ème cas : pp2=0p-p^2=0
    en factorisant : p(1p)=0p(1-p)=0
    En utilisant encore une fois la propriété "Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul", on obtient
    p=0\fbox{p=0} ou 1p=0\fbox{1-p=0}
    en transposant 1p=01-p=0 <=> 1=p1=p <=> p=1\fbox{p=1}

    Les deux valeurs de p pour lesquelles X et Y sont indépendantes sont donc 0 et 1

    Vu que par définition 0p10 \le p \le 1, tu déduis que pour 0<p<10 \lt p\lt 1 X et Y ne sont pas indépendantes (on peut dire bien sûr que X et Y sont dépendantes, mais comme l' indépendance est la propriété importante, on utilise plutôt l'expression "ne sont pas indépendantes".


 

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