Déterminer si une application est linéaire



  • Bonjour,
    Je sollicite votre aide quant à la méthode pour déterminer si une application est linéaire. L'énoncé est le suivant :

    "On considère l'application f définie par :
    f : R^2 -> R
    x -> f(x) = (x + y)^2

    Déterminer si f est une application linéaire."

    Je sais qu'il faut que je démontre que f(ax +y) = a.f(x) + f(y) mais je ne sais pas comment faire.

    Merci de votre aide,

    NicoAdins



  • Bonjour Nicoadins,

    Commence par écrire l'expression de f(ax+y)
    f(ax+y) = .....

    Tu peux aussi montrer que f(3x2) ≠ 3 f(2) puis conclure.



  • Bonjour Noemi,

    Soit f(x) = x^2 + 2xy + y^2

    On veut f(a.x + y) = a.f(x) + f(y)
    On a :
    f(a.x + y) = (ax + y)^2
    f(a.x + y) = a^2.x^2 + 2axy + y^2
    f(a.x + y) = a(a.x^2 +2xy + y^2)

    Donc f n'est pas une application linéaire.

    Est-ce correct ?



  • @nicoadins,

    La dernière écriture de f(ax+y)f(ax+y) est fausse.
    f(ax+y)f(ax+y) = ax(ax+2y)ax(ax+2y) + y2y^2

    La conclusion est correcte.
    Tu aurais pu utiliser le fait que f(3x2) ≠ 3f(2).



  • @noemi

    D'accord merci beaucoup Noemi ! 😃

    Après pour l'application f suivante :

    f:R3R3f : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}
    xf(x)=\overrightarrow{x} \mapsto f(\overrightarrow{x}) =
    (x+yx + y)
    (y+zy + z)
    (x+zx + z)

    (C'est une matrice)

    On écrit l'application f sous forme matricielle
    xR3,\forall x \in \mathbb{R^3}, on a :
    f(x)=f(\overrightarrow{x}) =(1 1 0, 0 1 1,1 0 1)\begin{pmatrix} 1~1~0, \ 0~1~1, 1~0~1 \end{pmatrix} (x,y,z)(x,y,z)
    f(x)=A.x\Longleftrightarrow f(\overrightarrow{x}) = A.\overrightarrow{x}

    Pour montrer que f est une AL, il faut vérifier que :
    f(λx+y)=λf(x)+f(y)f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= \lambda f(\overrightarrow{x}) + f(\overrightarrow{y})
    f(λx+y)=A(λx+y)\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= A(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})
    f(λx+y)=Aλx+Ay\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= A \lambda\overrightarrow{x} + A \overrightarrow{y}
    f(λx+y)=λf(x)+f(y)\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= \lambda f(\overrightarrow{x}) + f( \overrightarrow{y})

    Ainsi on en déduit que f est une application linéaire de R3\mathbb{R^3} dans R3\mathbb{R^3}

    Correct ?

    Merci beaucoup de votre temps et de votre réponse !



  • @nicoadins,

    C'est correct.



  • @noemi

    Mais en fait dès qu'on a une matrice avec des équations du premier degré c'est d'office une application linéaire ?



  • @nicoadins ,

    C'est le cas pour les applications de R3\mathbb{R}^3 dans R3\mathbb{R}^3 de la forme f(x)f(\overrightarrow{x}) = Ax\overrightarrow{x}.



  • @noemi

    Pourtant, dans l'application f suivante de R3R2\mathbb{R^3} \to \mathbb{R^2}, ca marche aussi non ?

    f:R3R2f : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^2}
    xf(x)=\overrightarrow{x} \mapsto f(\overrightarrow{x}) = (xy+z,x+zx - y + z, x + z)

    On écrit l'application f sous forme matricielle
    xR3,\forall x \in \mathbb{R^3}, on a :
    f(x)=f(\overrightarrow{x}) =(1 1 1, 1 0 1)\begin{pmatrix} 1~-1~1, \ 1~0~1\end{pmatrix} (x,y,z)(x,y,z)f(x)=A.x\Longleftrightarrow f(\overrightarrow{x}) = A.\overrightarrow{x}

    Pour montrer que f est une AL, il faut vérifier que :
    f(λx+y)=λf(x)+f(y)f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= \lambda f(\overrightarrow{x}) + f(\overrightarrow{y})
    f(λx+y)=A(λx+y)\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= A(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})
    f(λx+y)=Aλx+Ay\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= A \lambda\overrightarrow{x} + A \overrightarrow{y}
    f(λx+y)=λf(x)+f(y)\Longleftrightarrow f(\lambda\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})= \lambda f(\overrightarrow{x}) + f( \overrightarrow{y})

    Ainsi on en déduit que f est une application linéaire de R3\mathbb{R^3} dans R2\mathbb{R^2}

    Est ce correct ?

    Merci encore de votre temps et de votre réponse (après j'arrête de vous harceler !)



  • @nicoadins ,
    Exact, ça marche si tu peux écrire f(x)f(\overrightarrow{x}) = A. x\overrightarrow{x}



  • @noemi Bonjour noemi,

    Je voulais vous remercier de votre aide si précieuse, grâce à vous j'ai obtenu 16,5 à mon partiel de maths ! Un grand merci et continuez votre travail remarquable sur le site !



  • Bonsoir nicoadins,

    C'est avec plaisir que j'apprends que tu as eu une bonne note à ton partiel. C'est ton travail et ton questionnement pour comprendre qui te permettent d'avoir de très bon résultat. Poursuis ainsi.


 

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