le log avec suite fin de chapitre

pour les amateur de log j'ai un probleme avec cette exercice
merci

Scan d'énoncé supprimé car non autorisé.

Bonjour oriona,

Les scans d'énoncés ne sont pas autorisés (sauf les tableaux et les graphiques sans texte)

Si tu as besoin de notre aide, merci d'écrire ton énoncé à la main.

re
je vous envoie l'enoncer de mon Dm en manuscrit cette fois merci
on considére la suite (Un) définie:
$U_0=5e$ et pour tout entier n, $Un+1=5UnU_{n+1} = \sqrt{ 5U_n}$

on pose pour tout entier naturel n, $V_n = ln(U_n)-ln(5)$

montrer que la suite Vn est géométrique
en déduire la lim de Vn
démontrer la lim de Un
pour tout entier naturel n, on pose $Pn=U0×U1×U2×...×Un5nP_n= \frac{U_0\times U_1\times U_2\times ...\times U_n}{5^n}$
la suite Pn est-elle convergente? si oui calculer sa limite

voila c'est le deuxième exercice de mon DM a rendre lundi si vous savez comment faire merci beaucoup

Rebonjour,

Merci oriona d'avoir écrit l'énoncé comme demandé (j'ai amélioré les formules en utilisant le LaTex)

Piste pour démarrer,

Utilise les propriétés de la fonction ln

$Vn+1=ln(Un+1)−ln(5)=ln(5Un)−ln(5)=12ln(5Un)−ln(5)V_{n+1}=ln(U_{n+1})-ln(5)=ln(\sqrt{5U_n})-ln(5)=\frac{1}{2}ln(5U_n)-ln(5)$

$Vn+1=12(ln(5)+ln(Un))−ln(5)V_{n+1}=\frac{1}{2} \biggl( ln(5)+ln(U_n) \biggr)-ln(5)$

Après transformation :

$V_{n+1}=\frac{1}{2} \biggl( ln(U_n)-ln(5)\biggr)=\fbox{\frac{1}{2}V_n}$

Tire la conclusion et essaie de poursuivre.

Si besoin, indique tes réponses ici (en les tapant) pour vérification et/ou aide.

Bon travail.

merci beaucoup pour le coup de pouce, j'ai noter a la question suivante que sa limite était 0 car c'est une suite géométrique avec q compris entre 0 et 1.
la question suivante me demande de prouver la limite de Un qui a la calculatrice semblent être 0 j'aimerais savoir si la récurrence est une obligation car c'est un de mes plus grand problème en math
merci

heu petite changement la limite de Un semble être 5 je n'étais pas aller assez loin désolé

j'ai pas fait de récurence et exprimer Un en fonction de Vn ce qui me fait arriver a
Un= expo(Vn)+5
comme lim de Vn=0
lim de expo(Vn)+5= 6 par somme de limite
donc lim Un= 6 ce qui est pas cohérent avec ma calculatrice
merci

bon j'ai résolu mon problème qui était que les expo se multiplient et non s’additionnent ce qui fait que j'ai bien retrouvé 5 ouf;)

il ne me reste que la dernier question qui est la plus dure à ce qu'on ma dit je suis ouverte à toute proposition merci

Oui, tu as fait pas mal de confusions, mais visiblement tu as fini par y arriver, car la limite de $U_n$ est bien 5

Ce n'était pas très compliqué.
$ln(U_n)=V_n+ln(5)$
Vu que $V_n$ a pour limite 0 donc $ln(U_n)$ a pour limite $l n (5)$ donc $U_n$ a pour limite 5

Je te donne une piste pour $P_n$

En utilisant les propriétés des logarithmes, transforme $ln(P_n)$

Tu devrais arriver à une somme de termes consécutifs de la suite géométrique $V_n$ et tu pourras tirer les conclusions.

Reposte si besoin.

alors ça je le fais et je trouve (lnu0+lnu1+...+lnUn)-nln(5)
ce qui ressemble a Vn mais je sais pas si je peu dire que c'est n*Vn et dans ce cas la limite serais ln(Vn) donc -infini mais une amie ma dit non et j'avoue que la je sais plus quoi faire

Tes conclusions ne sont pas bonnes .
Les "ressemblances " ne sont pas des méthodes très mathématiques...

Continue la transformation avec un peu d'astuce vu que $n l n (5) = l n (5) + l n (5) + . . . + l n (5)$

$ln(P_n)=[ln(U_0-ln(5)]+[ln(U_1)-ln(5)]+[ln(U_2)-ln(5)]+...+[ln(U_n)-ln(5)]$

Essaie de poursuivre.

oui donc ça fait V0+V1+V2+...+Vn
il me faut donc trouver la limite de ça, je serais tenter de dire +infini mais ne me rapelle plus si il existe une formule pour calculer cela
merci j'essayerais de résoudre cela demain

Se méfier des tentations...

Oui...tu dois utiliser la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique pour calculer cette somme et déduire la limite de $ln(P_n)$ puis de $P_n$