exercice équation logarithmique

[Gabriele]

Bonsoir, quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer l'étape suivant qui est utilisée dans la résolution d'une équation logarithmique:
16x=$\frac{1}{4^{2}x+2}$

l'étape concernée est la suivante: dans le dénominateur de la fraction, on remplace le $4^{2}x+2$ par $\sqrt{16}$. L'équation devient alors 16x= $(\frac{1}{\sqrt{1}6}{)}^{2}x+2$ . Pour quelle raison on remplace le nombre 4 avec la racine carré de 16, l'exposant ne changeant pas?

Merci pour vos explications

Gabriele

[Black-Jack]

Salut,

Ecris l'énoncé correct et complet.

Que sont "X" (dans le membre de gauche de l'équation) et "x" dans le membre de droite ?

[Gabriele]

Salut Black Jack,

l'exercice à résoudre est celui que j'ai écrit au départ dans la question:

16x=$\frac{1}{4^{2}x+2}$

[mtschoon]

Bonjour Gabriele,

Comme ta l'a dits Black-Jack, l'étape que tu indiques laisse perplexe...!

Tu écris $16X=\frac{1}{4^{2}x+2}$

En remplaçant 4²x+2 par $\sqrt{16}$ , on obtiens $16X=\frac{1}{\sqrt{16}}$ , c'est à dire :
$X=\frac{1}{16\sqrt{16}}$ <=> $X=\frac{1}{16\times 4}$ <=> $X=\frac{1}{64}$

[Gabriele]

Bsr Mtschoon, merci de ton retour ! En fait l'exercice énoncé comporte déjà la résoluation. C'est une étape de cette résolution qu'on ne comprend pas. Je t'écris les différentes étapes aménant à la résoluation de cet exercice.

résoudre: 16x=$\frac{1}{4^{2}x+2}$

étape 1 => 16x=($\frac{1}{\sqrt{16}}$)${}^{2}x+2$
étape 2 => 16x=($16^{\frac{-1}{2}}$)${}^{2}x+2$ (on enlève la racine avec fraction nég)
étape 3 => x=-x-1 (ici on supprime la base 16 , on multiplie la
fraction nég avec l'exposant 2x+2)
étape 4 => x+x= -1 (on isole x)
étape 5 => 2x = -1
étape 6 = x = - $\frac{1}{2}$

On comprend toutes les étapes à lexception de l'étape 1 : pourquoi la racine 16 avec l'exposant 2x+2??

Bonne soirée

[mtschoon]

Bonjour Gabriele,

Ce sont tes notations qui sont mal écrites et qui faussent la compréhension de ta question ...

Avec ce que tu viens d'indiquer, je pense que l'énoncé est en réalité :

$\fbox{16^x=\frac{1}{4^{2x+2}}}$

Pour l'étape 1

1 élevé à une puissance quelconque vaudra toujours 1

L'énoncé peut donc s'écrire :

$16^x=\frac{1^{2x+2}}{4^{2x+2}}$

puis, en utilisant les propriétés des puissances

$16^x=(\frac{1}{4}{)}^{2x+2}$

Vu que $4=\sqrt{16}$ , tu peux transformer en :

$16^x=(\frac{1}{\sqrt{16}}{)}^{2x+2}$

J'espère avoir répondu à ta question.

[Gabriele]

Et bien Mtschoon je n'ai qu'un seul mot à te dire : magnifique !

Nous avons compris

Merci bcp

p.s : es tu prof?

[mtschoon]

De rien Gabriele.
Contente que ma réponse te convienne.
Bonne journée !

PS : comme tu peux le lire dans mon profil, je suis professeure de mathématiques de Lycée, retraitée de l'Education Nationale.