Fonction à déterminer (équation différentielle)
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Ooakley dernière édition par mtschoon
Bonjour, je suis élève de terminale S et mon professeur de maths nous a donné cet exercice :
La taille d'une population de canard dépends de l'équation dN/dt = αN − N^2 où N=N(t) est le nombre de canard à l'instant t et α est une constante positive. On nous donne N(0) = 2α et il faut trouver N(t) et ce qu'il se passe quand t→ ∞?Pour trouver N(t) je pense qu'on pourrait partir sur une suite avec N(t) = Un et Un+1=αUn − Un^2. Comme Un+1 est arithmético-géométrique alors on peut trouver une suite géométrique lié a Un comme pour beaucoup de type bac de suite ce qui permettrait de trouver Un . Cependant je ne sais pas comment faire cela. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Ton idée de suite ne me semble pas pertinante.
Ce genre d'exercice a été posté il y a 3 ans sur le forum.
https://forum.mathforu.com/topic/23232/fonction
Consulte le pour, peut-être, te donner des idées utiles.
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Ooakley dernière édition par
Bonjour,
je vais suivre votre conseil, merci
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mtschoon dernière édition par mtschoon
De rien.
Avec l'énoncé que je te donne en lien, qui apporte une indication importante, cet exercice est relativement facile, mais reposte si tu as besoin.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
J'espère oakley, qu'avec l'aide, tu es arrivé au bout de cet exercice.
Un conseil, pour le cas où ton énoncé ne te donne aucune aide, mais à condition de connaître les équations différentielles.
La variable est t
Tu as l'équation différentielle : N′=αN−N2N'=\alpha N-N^2N′=αN−N2 (***)
Tu poses N=1yN=\frac{1}{y}N=y1 donc N′=−y′y2N'=-\frac{y'}{y^2}N′=−y2y′
(***) se transforme en −y′y2=α(1y)−(1y)2-\frac{y'}{y^2}=\alpha (\frac{1}{y})-(\frac{1}{y})^2−y2y′=α(y1)−(y1)2
En mltipliant par y2y^2y2 et en changeant les signes, tu dois arriver, sauf erreur, à $\fbox{y'=-\alpha y+1}$
Equation différentielle du type y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
Par théorème y=Ceat−bay=Ce^{at}-\frac{b}{a}y=Ceat−ab avec C constante réelle.
Ici, tu dois obtenir :
y=Ce−αt+1αy=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}y=Ce−αt+α1
Tu tires les conclusions :
1N=Ce−αt+1α\frac{1}{N}=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}N1=Ce−αt+α1
En prenant l'inverse, tu obtiens N
En donnant à t la valeur 0, tu obtiens la valeur de C
En faisant tendre t vers +∞+\infty+∞, tu dois trouver que N tend vers α\alphaα
Bons calculs.