Fonction à déterminer (équation différentielle)



  • Bonjour, je suis élève de terminale S et mon professeur de maths nous a donné cet exercice :
    La taille d'une population de canard dépends de l'équation dN/dt = αN − N^2 où N=N(t) est le nombre de canard à l'instant t et α est une constante positive. On nous donne N(0) = 2α et il faut trouver N(t) et ce qu'il se passe quand t→ ∞?

    Pour trouver N(t) je pense qu'on pourrait partir sur une suite avec N(t) = Un et Un+1=αUn − Un^2. Comme Un+1 est arithmético-géométrique alors on peut trouver une suite géométrique lié a Un comme pour beaucoup de type bac de suite ce qui permettrait de trouver Un . Cependant je ne sais pas comment faire cela. Je vous remercie d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Ton idée de suite ne me semble pas pertinante.

    Ce genre d'exercice a été posté il y a 3 ans sur le forum.

    https://forum.mathforu.com/topic/23232/fonction

    Consulte le pour, peut-être, te donner des idées utiles.



  • Bonjour,
    je vais suivre votre conseil, merci


  • Modérateurs

    De rien.
    Avec l'énoncé que je te donne en lien, qui apporte une indication importante, cet exercice est relativement facile, mais reposte si tu as besoin.


  • Modérateurs

    J'espère oakley, qu'avec l'aide, tu es arrivé au bout de cet exercice.

    Un conseil, pour le cas où ton énoncé ne te donne aucune aide, mais à condition de connaître les équations différentielles.

    La variable est t

    Tu as l'équation différentielle : N=αNN2N'=\alpha N-N^2 (***)

    Tu poses N=1yN=\frac{1}{y} donc N=yy2N'=-\frac{y'}{y^2}

    (***) se transforme en yy2=α(1y)(1y)2-\frac{y'}{y^2}=\alpha (\frac{1}{y})-(\frac{1}{y})^2

    En mltipliant par y2y^2 et en changeant les signes, tu dois arriver, sauf erreur, à y=αy+1\fbox{y'=-\alpha y+1}

    Equation différentielle du type y=ay+by'=ay+b

    Par théorème y=Ceatbay=Ce^{at}-\frac{b}{a} avec C constante réelle.

    Ici, tu dois obtenir :

    y=Ceαt+1αy=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}

    Tu tires les conclusions :

    1N=Ceαt+1α\frac{1}{N}=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}

    En prenant l'inverse, tu obtiens N

    En donnant à t la valeur 0, tu obtiens la valeur de C

    En faisant tendre t vers ++\infty, tu dois trouver que N tend vers α\alpha

    Bons calculs.


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