Résolution d'un système d'équations à deux inconnues



  • Bonjour ! je sollicite une fois de plus votre aide sur la résolution de cette équation suivante, un système formé par: (y-2yx^2)=0 et (x-2xy^2=0). Merci de vouloir m'aider



  • Bonjour Jessy,

    Vérifie l'écriture de l'équation.



  • Merci Noémie pour ton aide! cette fonction n'est rien d'autre que la dérivée de la fonction g avec laquelle tu m'as aidé voilà la fonction g(x,y)= xye^-(x^2+y^2) et sa forme dérivée par rapport à x est dxdg​=yye−(x2+y2)e−(x2+y2)-2x2ye−(x2+y2)x2ye−(x2+y2) ajouté a sa forme dérivée par rapport a y forme un système d'équation pour lequel je demande la résolution ! merci!



  • @panther,

    La question est : Pour quels couples (x;y) chaque dérivée partielle s'annule ??



  • Oui oui effectivement ! pour quel couple (x,y) le système formé par les dérivées partielles s'annule.



  • @panther

    Tu cherches pour quelles valeurs chaque dérivée partielle s'annule (factorise les expressions) puis tu détermines les couples solutions.
    Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.



  • J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.



  • J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.



  • @panther

    Pour déterminer les couples (x;y) solutions, tu choisis une valeur de x (ou y) qui annule la première équation et une valeur de y (ou x) qui annule la deuxième équation.
    Le couple (0;0) est une solution.



  • Bonjour Panther et Noemi,

    Un petit plus, si nécessaire.

    Panther, Il aurait été plus clair de rester sur ton topic initial.

    Si j'ai bien lu
    dgdx=y(12x2)e(x2+y2)\frac{dg}{dx}=y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}
    dgdy=x(12y2)e(x2+y2)\frac{dg}{dy}=x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}

    On doit résoudre ici le système
    y(12x2)e(x2+y2)=0y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}=0
    x(12y2)e(x2+y2)=0x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0

    Pour tout couple (x,y) de R², e(x2+y2)>0e^{-(x^2+y^2)} \gt 0

    Le système se ramène à
    y(12x2)=0y(1-2x^2)=0 équation (2)
    x(12y2)=0x(1-2y^2)=0 équation (1)

    l'équation (1) équivaut à x=0 ou y2=12y^2=\frac{1}{2} c'est à dire :
    x=0x=0 ou y=22y=-\frac{\sqrt 2}{2}ou y=22y=\frac{\sqrt 2}{2}

    Substitutions dans l'équation (2)

    1er cas :
    x=0 => y[1-2(0²)]=0 c'est à dire y=0 couple (0,0) solution

    2ème cas :
    y=22y=-\frac{\sqrt{2}}{2} => 22(12x2)=0-\frac{-\sqrt 2}{2}(1-2x^2)=0

    x2=12x^2=\frac{1}{2} c'est à dire x=22x=\frac{\sqrt 2}{2} ou x=22x=-\frac{\sqrt 2}{2}

    Couples solutions
    (22,22)(\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2}) et (22,22)(-\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{-\sqrt 2}{2})

    3ème cas :
    y=22y=\frac{\sqrt{2}}{2} => ... même principe

    Sauf erreur, on trouve deux nouveaux couples solutions
    (22,22)(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2}) et (22,22)(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})

    Il y a donc au total 5 couples (x,y) solutions.

    Bons calculs .


 

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