Résolution d'un système d'équations à deux inconnues
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PPanther dernière édition par mtschoon
Bonjour ! je sollicite une fois de plus votre aide sur la résolution de cette équation suivante, un système formé par: (y-2yx^2)=0 et (x-2xy^2=0). Merci de vouloir m'aider
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Bonjour Jessy,
Vérifie l'écriture de l'équation.
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PPanther dernière édition par
Merci Noémie pour ton aide! cette fonction n'est rien d'autre que la dérivée de la fonction g avec laquelle tu m'as aidé voilà la fonction g(x,y)= xye^-(x^2+y^2) et sa forme dérivée par rapport à x est dxdg=yye−(x2+y2)e−(x2+y2)-2x2ye−(x2+y2)x2ye−(x2+y2) ajouté a sa forme dérivée par rapport a y forme un système d'équation pour lequel je demande la résolution ! merci!
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La question est : Pour quels couples (x;y) chaque dérivée partielle s'annule ??
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PPanther dernière édition par
Oui oui effectivement ! pour quel couple (x,y) le système formé par les dérivées partielles s'annule.
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Tu cherches pour quelles valeurs chaque dérivée partielle s'annule (factorise les expressions) puis tu détermines les couples solutions.
Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.
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PPanther dernière édition par
J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.
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PPanther dernière édition par
J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.
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Pour déterminer les couples (x;y) solutions, tu choisis une valeur de x (ou y) qui annule la première équation et une valeur de y (ou x) qui annule la deuxième équation.
Le couple (0;0) est une solution.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Panther et Noemi,
Un petit plus, si nécessaire.
Panther, Il aurait été plus clair de rester sur ton topic initial.
Si j'ai bien lu
dgdx=y(1−2x2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dx}=y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}dxdg=y(1−2x2)e−(x2+y2)
dgdy=x(1−2y2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dy}=x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}dydg=x(1−2y2)e−(x2+y2)On doit résoudre ici le système
y(1−2x2)e−(x2+y2)=0y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}=0y(1−2x2)e−(x2+y2)=0
x(1−2y2)e−(x2+y2)=0x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0x(1−2y2)e−(x2+y2)=0Pour tout couple (x,y) de R², e−(x2+y2)>0e^{-(x^2+y^2)} \gt 0e−(x2+y2)>0
Le système se ramène à
y(1−2x2)=0y(1-2x^2)=0y(1−2x2)=0 équation (2)
x(1−2y2)=0x(1-2y^2)=0x(1−2y2)=0 équation (1)l'équation (1) équivaut à x=0 ou y2=12y^2=\frac{1}{2}y2=21 c'est à dire :
x=0x=0x=0 ou y=−22y=-\frac{\sqrt 2}{2}y=−22ou y=22y=\frac{\sqrt 2}{2}y=22Substitutions dans l'équation (2)
1er cas :
x=0 => y[1-2(0²)]=0 c'est à dire y=0 couple (0,0) solution2ème cas :
y=−22y=-\frac{\sqrt{2}}{2}y=−22 => −−22(1−2x2)=0-\frac{-\sqrt 2}{2}(1-2x^2)=0−2−2(1−2x2)=0x2=12x^2=\frac{1}{2}x2=21 c'est à dire x=22x=\frac{\sqrt 2}{2}x=22 ou x=−22x=-\frac{\sqrt 2}{2}x=−22
Couples solutions
(22,−22)(\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2})(22,−22) et (−22,−−22)(-\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{-\sqrt 2}{2})(−22,−2−2)3ème cas :
y=22y=\frac{\sqrt{2}}{2}y=22 => ... même principeSauf erreur, on trouve deux nouveaux couples solutions
(22,22)(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(22,22) et (−22,22)(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(−22,22)Il y a donc au total 5 couples (x,y) solutions.
Bons calculs .