Résolution d'un système d'équations à deux inconnues


  • P

    Bonjour ! je sollicite une fois de plus votre aide sur la résolution de cette équation suivante, un système formé par: (y-2yx^2)=0 et (x-2xy^2=0). Merci de vouloir m'aider


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Jessy,

    Vérifie l'écriture de l'équation.


  • P

    Merci Noémie pour ton aide! cette fonction n'est rien d'autre que la dérivée de la fonction g avec laquelle tu m'as aidé voilà la fonction g(x,y)= xye^-(x^2+y^2) et sa forme dérivée par rapport à x est dxdg​=yye−(x2+y2)e−(x2+y2)-2x2ye−(x2+y2)x2ye−(x2+y2) ajouté a sa forme dérivée par rapport a y forme un système d'équation pour lequel je demande la résolution ! merci!


  • N
    Modérateurs

    @panther,

    La question est : Pour quels couples (x;y) chaque dérivée partielle s'annule ??


  • P

    Oui oui effectivement ! pour quel couple (x,y) le système formé par les dérivées partielles s'annule.


  • N
    Modérateurs

    @panther

    Tu cherches pour quelles valeurs chaque dérivée partielle s'annule (factorise les expressions) puis tu détermines les couples solutions.
    Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.


  • P

    J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.


  • P

    J'ai résolu mais je deux valeurs de x. x= √2/2 ou x= -√2/2 et y= 0 . Mais l'énigme c'est que le couple ne vérifie pas mon système.


  • N
    Modérateurs

    @panther

    Pour déterminer les couples (x;y) solutions, tu choisis une valeur de x (ou y) qui annule la première équation et une valeur de y (ou x) qui annule la deuxième équation.
    Le couple (0;0) est une solution.


  • mtschoon

    Bonjour Panther et Noemi,

    Un petit plus, si nécessaire.

    Panther, Il aurait été plus clair de rester sur ton topic initial.

    Si j'ai bien lu
    dgdx=y(1−2x2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dx}=y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}dxdg=y(12x2)e(x2+y2)
    dgdy=x(1−2y2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dy}=x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}dydg=x(12y2)e(x2+y2)

    On doit résoudre ici le système
    y(1−2x2)e−(x2+y2)=0y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}=0y(12x2)e(x2+y2)=0
    x(1−2y2)e−(x2+y2)=0x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0x(12y2)e(x2+y2)=0

    Pour tout couple (x,y) de R², e−(x2+y2)>0e^{-(x^2+y^2)} \gt 0e(x2+y2)>0

    Le système se ramène à
    y(1−2x2)=0y(1-2x^2)=0y(12x2)=0 équation (2)
    x(1−2y2)=0x(1-2y^2)=0x(12y2)=0 équation (1)

    l'équation (1) équivaut à x=0 ou y2=12y^2=\frac{1}{2}y2=21 c'est à dire :
    x=0x=0x=0 ou y=−22y=-\frac{\sqrt 2}{2}y=22ou y=22y=\frac{\sqrt 2}{2}y=22

    Substitutions dans l'équation (2)

    1er cas :
    x=0 => y[1-2(0²)]=0 c'est à dire y=0 couple (0,0) solution

    2ème cas :
    y=−22y=-\frac{\sqrt{2}}{2}y=22 => −−22(1−2x2)=0-\frac{-\sqrt 2}{2}(1-2x^2)=022(12x2)=0

    x2=12x^2=\frac{1}{2}x2=21 c'est à dire x=22x=\frac{\sqrt 2}{2}x=22 ou x=−22x=-\frac{\sqrt 2}{2}x=22

    Couples solutions
    (22,−22)(\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2})(22,22) et (−22,−−22)(-\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{-\sqrt 2}{2})(22,22)

    3ème cas :
    y=22y=\frac{\sqrt{2}}{2}y=22 => ... même principe

    Sauf erreur, on trouve deux nouveaux couples solutions
    (22,22)(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(22,22) et (−22,22)(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(22,22)

    Il y a donc au total 5 couples (x,y) solutions.

    Bons calculs .


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