équation et inequation du second degre

$P(x) =(m-2)x^2 +2(m-2)x -2$
Discuter suivant les valeurs de m, le nombre de racines de P

Je n arrive pas à résoudre

Bonjour koned,

Pistes de travail,

1er cas : $m - 2 = 0$ <=> $m = 2$
P n'est pas du second degré vu que le coefficient de x² est nul
Tu remplaces m par 2 et tu résous l'équation P(x)=0
Tu dois trouver cette équation impossible, donc aucune racine pour le polynôme

2ème cas : $m≠2m\ne 2$
P est du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$
$a = m - 2, b = 2 (m - 2), c = - 2$
Tu calcules le discriminant $Δ\Delta$ (ou le discriminant réduit si tu connais)
$Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac$
Ensuite, suivant m, tu cherches le signe de $Δ\Delta$
Lorsque $Δ=0\Delta=0$ , le polynôme a une racine (double)
Lorsque $Δ>0\Delta \gt 0$ , le polynôme a deux racines (distinctes)
Lorsque $Δ<0\Delta \lt 0$ , le polynôme n'a aucune racine

Tu peux proposer tes réponses si tu as besoin d'une vérification.

@mtschoon
1er cas
Pour m=2, P(x) = -2. Je ne trouve pas une racine de P

Effectivement, pour m=2 , $P(x)=0x^2+0x-2=-2$

L'équation $P (x) = 0$ s'écrit donc $- 2 = 0$ , ce qui est impossible

Le polynôme P n'a donc pas de racine pour m=2

@mtschoon
Bonsoir mtschoon
Pour le 2eme cas je trouve
∆=4m² -8m
a=4; b=-8 ; c=0
∆=b² - 4ac
∆=(-8)² - 4(4) (0)
∆=64, ∆>0 alors p a deux racines
X1=0 et x2=4
Je voudrais savoir si jai trouvé ,merci pour ton aide

Tu fais des confusions entre les discriminants

$Δ=4m2−8m\Delta=4m^2-8m$ est le discriminant relatif à P(x)

Pour trouver les valeurs qui annulent $4m^2-8m$ , n'appelle $Δ\Delta$ cet autre discriminant. Appelle le $δ\delta$ par exemple car on ne comprend plus rien
D'ailleurs, une factorisation aurait été plus simple.
$Δ=4m(m−2)\Delta=4m(m-2)$
Les valeurs qui annulent $4m^2-8m$ sont $m_1=0$ et $m_2=2$
Revois ton calcul et n'appelle pas ces valeurs $x_1$ et $x_2$ vu qu'il s'agit des valeurs de m non de x.

@mtschoon
Ok je voir je devais juste factoriser
Donc P n admet pas de racines

@mtschoon
Pour m=0
P(x) =-2x²-4x-2
∆=(-4) ² - 4(-2) (-2)
∆=16-16
∆=0
XO=4/(-4)
X0=-1
Pour x=-1 et m=0 on obtient:
P(-1)=(-2) (-1)² + 2(-2) (-1) -2
P(-1) =0
P a pour racine (-1) pour m=0
P n a pas de racine pour m=2

Oui.

Une remarque : d'après ton énoncé, on te demande seulement le nombre de racines du polynôme P

IL te suffisait d'indiquer que pour m=0, vu que $Δ=0\Delta=0$ , le polynôme P a une racine . Préciser que cette racine est -1 est un plus.

@mtschoon
Merci beaucoup pour ton aide

De rien koned mais ton exercice n'est pas terminé !
Tu as vu seulement les cas m=0 et m=2.
L'as-tu terminé seul ?

Je te mets la synthèse de ce que tu dois trouver dans les autres cas.
$Δ=4m2−8m=4m(m−2)\Delta=4m^2-8m=4m(m-2)$
Avec le signe d'un polynome du second degré ou un tableau pour le signe d'un produit, tu dois trouver que :

Pour $\in ]-\infty,0[ \cup ]2,+\infty[ , \Delta \gt 0$
Donc le polynôme P a deux racines distinctes

Pour $\in ]0,2[, \Delta \lt 0$
Donc le polynôme P n'a aucune racine.

Bon travail.

@mtschoon
Merci

Bon travail koned !

A+