Fonctions polynômes (coût, recette, bénéfice)


  • B

    Partie A
    Un laboratoire pharmaceutique s'intéresse coût total de production d'un produit qu'il commercialise.
    Ce coût exprime en euros est définie par:
    C(x)=13x3−11x2+100x+72C(x)=\frac{1}{3}x^3-11x^2+100x+72C(x)=31x311x2+100x+72, où x représente la quantité de produit fabriqué en kilogramme.
    Après une étude de marché le prix de vente du produit a été estimé 60€ le kg.
    On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions coût de produit et recette sur l'intervalle (5;30)

    1. quelle courbe représente le coût total de production? La recette? Justifier
    2. a) estimer pour quelle quantité le coût total de production et de 600 €
      b) estimer la recette du laboratoire pour la vente de 15kg de produits
    3. quelle quantité de produit le laboratoire doit-il vendre pour réaliser un bénéfice? Justifier

    Partie B
    Le bénéfice réalisé par l'entreprise est exprimé en euros par
    B(x)=−13x3+11x2−40x−72B(x)=-\frac{1}{3}x^3+11x^2-40x-72B(x)=31x3+11x240x72, avec x∈[5,30]x\in[5,30]x[5,30]

    1. calculer B'(×)
    2. en déduire les variations de la fonction B sur l'intervalle [5;30]
    3. On considère que la production est entièrement vendue.
      Déterminer la quantité à produire pour réaliser le bénéfice maximal
      Quel est ce bénéfice?

    (Formules re-écrites en Latex, pour plus de clareté)


  • mtschoon

    Bonjour bibi38,

    Ici, la convivialité et la politesse sont les bienvenues...
    Il faudra y penser une autre fois si tu as besoin d'aide.

    Je regarde la partie A.
    Elle est exclusivement graphique.

    Les énoncés doivent être écrits à la main, mais les graphiques scannés sans texte sont autorisés.
    Ce serait bien de donner les courbes...

    Je te joins un schéma pour x compris entre 5 et 30
    0_1539001885031_Labo.jpg

    Le coût est représenté la portion de courbe d'équation C(x)=13x3−11x2+100x+72C(x)=\frac{1}{3}x^3-11x^2+100x+72C(x)=31x311x2+100x+72
    le prix de vente du produit a été estimé 60€ le kg donc la fonction recette est R(x)=60xR(x)=60xR(x)=60x (fonction linéaire)

    Tu dois ainsi pouvoir répondre à la 1.

    Pour la 2 a), tu utilises la fonction "Coût"
    Tu lis l'abscisse du point d'ordonnée 600

    Pour la 2 b), tu utilises la fonction "Coût"
    Tu lis l'ordonnée du point d'abscisse 15

    Pour la 2 c), la recette R(x) doit être supérieur au coût C(x)
    Tu utilises les deux fonctions pour lire la réponse.

    Tiens nous au courant de tes réponses si tu as besoin d'une vérification.


  • mtschoon

    Complément pour consultation, car cet exercice n'a pas vraiment été étudié, la partie A étant composée seulement de lectures graphiques.

    Pistes de la partie B

    B(x)=R(x)−C(x)=−13x3+11x2−40x−72B(x)=R(x)-C(x)=-\frac{1}{3}x^3+11x^2-40x-72B(x)=R(x)C(x)=31x3+11x240x72

    Avec les formules usuelles
    B′(x)=−13(3x2)+11(2x)−40=−x2+22x−40B'(x)=-\frac{1}{3}(3x^2)+11(2x)-40=-x^2+22x-40B(x)=31(3x2)+11(2x)40=x2+22x40

    B′(x)B'(x)B(x) est un polynôme du second degré dont on doit étudier le signe

    Sur R, les solutions de B′(x)=0B'(x)=0B(x)=0 sont x=2x=2x=2 et x=20x=20x=20
    B'(x) est strictement positif sur ]2,20[]2,20[]2,20[ et strictement négatif sur ]−∞,2[U]20,+∞[]-\infty,2[ U ]20,+\infty [],2[U]20,+[

    On restreint l'étude à l'intervalle [5,30][5,30][5,30] pour trouver les variations de B sur cette intervalle et le maximum

    B croissante sur [2,20]
    B a un maximum pour x=20
    B décroissante sur [20,30]

    Pour x=20x=20x=20 B(x)≈861.33B(x) \approx 861.33B(x)861.33


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