Extremums de fonctions!!



  • Salut tout le monde; j'ai le devoir commun pour lundi et, comme vous le savez les fonctions, c'est pas mon truc 😁 Savez vous comment on justifie qu'un nombre est le maximum ou le minimum d'une fonction? Merci beaucoup beaucoup de m'aider!!



  • Salut,

    Cela se lit sur le tableau de variations.

    Si la fonction est croissante sur un intervalle puis décroissante sur l'intervalle suivant
    alors la fonction a un maximum pour le x où le sens de variation change.

    Si la fonction est décroissante sur un intervalle puis croissante sur l'intervalle suivant
    alors la fonction a un miniimum pour le x où le sens de variation change.

    Est-ce clair ? Si tu as besoin de précision n'hésite pas.



  • Ben, nous on le calculait, mais sans le tableau de variations. Par exemple, on avait des exos(dans le livre) du style: Justifier que le minimum de la fonction f(x)=4x²-4x+5 est 4. Et je ne comprends pas comment on fait... Merci de m'aider ++



  • Bonjour misty!!!!!
    Alors moi à ta plaçe je calculerais la dérivée de ce polynôme
    f'(x)=8x-4
    ensuite tu veux étudier les variations de la fonction donc tu dois étudier le signe de la dérivée
    f'(x)>0
    equiv/ 8x-4>0
    equiv/ 8x>4
    equiv/ x>1/2
    donc la dérivée change de signe pour x=1/2
    avant la dérivée était négative la fonction était décroissante et après 1/2 la dérivée est positive et la fonction croissante
    après pour connaître le minimum tu calcules f(1/2)
    bonne chance!!



  • Attention

    Misty n'est qu'en Seconde et n'a donc pas encore étudié les dérivées, merci de faire attention à ce genre de "détails", miumiu.

    Au niveau de la classe de seconde, en reprenant ton exemple, Justifier que le minimum de la fonction f(x) = 4x² - 4x + 5 est 4, voici la démarche :

    • de façon générale, le
      minimumde f est m=f(x0m=f(x_0) lorsque pour tout x, on a
      f(x) >= m: cela signifie que m est la
      plus petite valeuratteinte par f, valeur atteinte en x0x_0 ;

    • ceci est équivalent à ce que
      f(x) - m >= 0pour tout x ;

    • ici, il s'agit d'étudier l'inéquation 4x² - 4x + 5 >= 4, c'est-à-dire 4x² - 4x + 1 >= 0, et avec une identité remarquable, on factorise le membre de gauche (2x - 1)² qui est bien toujours positif (c'est un carré).

    Conclusion
    l'inéquation initiale f(x) >= 4 equiv/ 4x² - 4x + 5 >= 4 est équivalente à (2x - 1) >= 0, ce qui est toujours vrai ; donc pour tout x, f(x) >= 4 ce qui prouve que 4 est la valeur minimum de f.

    Remarque
    le minimum est atteint en x0x_0 = 1/2, car f(1/2) = 4.



  • Je pense avoir compris, si par exemple, je veux démontrer que 5 est le maximum de la fonction f(x)= -x²+2x+4, alors je fais:
    -x²+2x+4 <= 5
    -x²+2x-1 <= 0, je factorise avec une identité remarquable:
    -(x-1)² <= 0 L'expression est négative, on a donc bien f(x) <= 5.
    C'est bien ca?
    Merci de votre aide!



  • C'est exactement ça ; c'est bien, Misty !



  • Ok !! merci beaucoup a tous les trois!!!!! 🆒


 

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