Continuité et prolongement par continuité


  • ?

    Bonjour à tous les membres de MATHFORU !
    Je veux vous poser une petite question, est-ce-que : 《 trouver la valeur de a pour que f soit continue en x=1 》et le même que 《trouver a pour que f admet un prolongement par continuité en x=1》
    Si non , donc qu'elle est la différence?
    Merci d'avance!


  • mtschoon

    Mathématicienne, bonjour,

    1. f continue en x=1

    f doit être définie dans un voisinage de 1 et pour x=1
    et
    lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=f(1)x1limf(x)=f(1)

    1. f admet un prolongement par continuité en x=1

    f doit être définie dans un voisinage de 1 , non pour x=1
    et
    lim⁡x→1f(x)=α\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\alphax1limf(x)=α

    Le prolongement par continuité de f en x=1 est la fonction g définie par :
    Pour x≠1, g(x)=f(x)x\ne1, \ g(x)=f(x)x=1, g(x)=f(x)
    Pour x=1, g(1)=αx=1 , \ g(1)=\alphax=1, g(1)=α

    Remarque : cette fonction g se note assez souvent f~\tilde ff~


  • ?

    Bonjour @mtschoon !
    Donc dans le 2ème cas, on doit avoir g(1)=lim f(x) (quand x tend vers 1)
    Et aussi: lim f(x)(quand x tend vers 1)=lim f(x) (quand x tend vers 1+)=lim f(x) (quand x tend vers 1-)


  • mtschoon

    Ce que tu indiques est correct.


  • ?

    @mtschoon merci c'est tout ce que je veux savoir!


  • mtschoon

    De rien !
    A+


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