Complexe sous forme trigonométrique

Bonjour à tous,

Pour l'un de mes exercices de maths je dois mettre sous la forme trigonométrique le complexe suivant :

(1 − i√3)(cos x + isin x)/cos x + sin x + i(cos x − sin x)

Mon idée est de mettre sous la forme e^ix au numérateur et dénominateur pour ensuite utiliser les propriétés de l'exponentielle pour simplifier.

Donc j'ai réussi sans problème pour le numérateur, par contre pour le dénominateur je bloque. J'ai trouvé le module du complexe qui vaut √2, si je ne me trompe pas, mais je ne parviens pas à trouver l'argument.

Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voir pour trouver l'argument, ou me dire si je n'ai pas pris la bonne stratégie ?

Par avance merci !

Bonjour Julesmhz,

Je suppose que le dénominateur comprend l'ensemble de ce qui suit / ?
Tu aurais pu multiplier chaque terme de la fraction par l'expression conjugué de ce dénominateur.

Bonjour JulesMhz et Noemi,

@JulesMhz

Pour ton écriture, je suppose (?) que ce que suggère Noemi est exact c'est à dire

$(1−i3)(cosx+isinx)(cosx+sinx)+i(cosx−sinx)\displaystyle \frac{(1-i \sqrt 3)(cosx+isinx)}{(cosx+sinx)+i(cosx-sinx)}$

Une alternative possible,

Pour (cosx+sinx) et( cosx-sinx), , pense aux formules d'addition avec $(π4−x)(\frac{\pi}{4}-x)$

Reposte si ce n'est pas la bonne expression ou si besoin.

Bonjour à vous deux,

d'abord merci pour vos réponses.

Je n'ai pas testé la méthode avec les formules d'addition car je ne les maitrise pas tout à fait et je n'ai pas trouvé les formules exactes sur Internet.

J'ai donc testé la méthode de Noemi, en multipliant en haut et en bas par le complexe conjugué, après simplifications, j'arrive à un résultat :
(cos(2x)+i)*(cos(-PI/3)+i sin(-PI/3)

Ca commence à ressembler à quelque chose, mais il y a toujours la première parenthèse qui me gène, auriez-vous une idée sur comment la simplifier ?

Par avance merci !

Bonsoir JulesMhz,

Sauf erreur, en utilisant l'expression conjugué, j'obtiens ce résultat :
1/2(cos2x - i sin2x)(1-i)(1-i $3\sqrt {3}$ )

Bonjour,

JulesMhz, c'est un peu surprenant que tu postes en "Supérieur" et que tu maîtrises mal le cours de Première S.
Evidemment, on peut se dire aussi que si tu n'avais pas de difficultés, tu ne viendrais pas demander de l'aide.

Soit
$f(x)=(1−i3)(cosx+isinx)(cosx+sinx)+i(cosx−sinx)\displaystyle f(x)=\frac{(1-i \sqrt 3)(cosx+isinx)}{(cosx+sinx)+i(cosx-sinx)}$

Je vais te détailler la solution qui répond directement à ta question : mettre f(x) sous forme trigonométrique , c'est à dire sous forme $\theta+isin\theta)$ avec réel strictement positif.
Avec la notation exponentielle ( je suppose que tu la connais), on peux écrire plus simplement $f(x)=reiθf(x)=re^{i\theta}$

Bonjour Noemi,

Merci de ta réponse, je vais donc revoir ma copie et trouver mon erreur.

Bonjour mtschoon,

Merci de ta réponse et de ta remarque, effectivement j'ai des difficultés, je suis en reprise d'études après plus 12ans d'activité professionnelle, ce qui fait que tout ça est un peu loin, et je suis des cours à distance, ce qui ne me permets pas d'avoir un enseignant à qui poser mes questions directement alors j'essaie de trouver de l'aide auprès de personnes comme vous qui donnent de leur temps généreusement j'en suis conscient. Le but étant de faire au mieux mon exercices pour que justement les difficultés s'estompent le plus rapidement...

Merci encore.

@julesmhz

Bon courage pour cette reprise d'études.
N'hésite pas à nous poser des questions.

Détail de la solution avec les formules d'addition.

formule d'addition: cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
d'où :
$cos(π4−x)=cosπ4cosx+sinπ4sinx=22cosx+22sinxcos(\frac{\pi}{4}-x)=cos\frac{\pi}{4}cosx+sin\frac{\pi}{4}sinx=\frac{\sqrt 2}{2}cosx+\frac{\sqrt 2}{2}sinx$
$cos(π4−x)=22(cosx+sinx)cos(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\sqrt 2}{2}(cosx+sinx)$
donc
$\fbox{cox+sinx=\sqrt 2 cos(\frac{\pi}{4}-x)}$

formule d'addition sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
d'où :
$sin(π4−x)=sinπ4cosx−sinxcosπ4sin(\frac{\pi}{4}-x)=sin\frac{\pi}{4}cosx-sinxcos\frac{\pi}{4}$
Après calcul de même type que précédemment, tu trouves
$\fbox{cosx-sinx=\sqrt 2 sin(\frac{\pi}{4}-x)}$

d'où
$f(x)=1−32×cosx+isinxcos(π4−x)+isin(π4−x)\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt 3}{\sqrt 2}\times \frac{cosx+isinx}{cos(\frac{\pi}{4}-x)+isin(\frac{\pi}{4}-x)}$

J'utilise l'écriture exponentielle par goût personnel, mais tu n'es pas obligé, tu peux utiliser la propriété du quotient de 2 nombres complexes mis sous forme trigonométrique

$f(x)=1−32×eixeπ4−x\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt 3}{\sqrt 2}\times \frac{e^{ix}}{e^{\frac{\pi}{4}-x}}$

$f(x)=1−32ex−(π4−x)\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt 3}{\sqrt 2}e^{x-(\frac{\pi}{4}-x)}$

$\fbox{\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt 3}{\sqrt 2}e^{(2x-\frac{\pi}{4})}}$
c'est à dire
$\fbox{\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt 3}{\sqrt 2}\biggl(cos(2x-\frac{\pi}{4})+isin(2x-\frac{\pi}{4})\biggl)}$

Si tu veux améliorer le module en rendant son dénominateur rationnel

$\fbox{\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{2}\biggl(cos(2x-\frac{\pi}{4})+isin(2x-\frac{\pi}{4})\biggl)}$

CQFD

JulesMhz , merci pour tes informations, elles permettent d'éclairer ton problème.
(j'étais en train de taper la solution en Latex lorsque tu as répondu, et comme c'est fort long de taper du code, je n'avais pas vu ta réponse.)

Reposte si besoin.

Bonne reprise d'étude et compte sur nous si nécessaire.