différence entre la dérivabilité et la continuité


  • S

    Bonjour ,
    c'est quoi la différence entre la dérivabilité et la continuité ,et comment les justifier chacune en un réel. aidez moi svp


  • mtschoon

    saraSBH, bonsoir

    J'ignore si tu parles de continuité et dérivabilité pour une valeur a de la variable ou sur un intervalle

    Pour faire simple,

    f continue en a : lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)xalimf(x)=f(a)

    f dérivable en a : lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)xalimxaf(x)f(a)=f(a)

    Par théorème, si f est dérivable en a, elle est continue en a.
    La réciproque n'est pas vraie.

    Donne des exemples précis, si tu as besoin.


  • S

    bonsoir, @mtschoon
    merci beaucoup ! mais comment faire pour les justifier sur un intervalle ?
    je peut utiliser lim f(x)−f(a)/x−a = f'(a) pour justifier la continuité ?
    ​ x→a


  • mtschoon

    Pour justifier les définitions sur un intervalle I, les définitions doivent s'appliquer pour toute valeur a de l'intervalle I.

    Pour justifier la continuité, tu utilises la définition de continuité donnée.

    Donne un énoncé précis pour clarifier tes questions.


  • mtschoon

    Je te donne un exemple, mais j'ignore s'il est adapté à ton cours.

    Soit f(x)=∣x2−1∣f(x)=|x^2-1|f(x)=x21

    Explicitation des deux expressions sans symboles de valeurs absolues

    1er cas : x∈]∞,−1]∪[1,+∞[x\in ]\infty,-1]\cup [1,+\infty[x],1][1,+[
    x2−1≥0x^2-1 \ge 0x210 donc f(x)=x2−1f(x)=x^2-1f(x)=x21

    2ème cas : x∈−1,1]x\in-1,1]x1,1]
    x2−1≤0x^2-1 \le 0x210 donc f(x)=−(x2−1)=−x2+1f(x)=-(x^2-1)=-x^2+1f(x)=(x21)=x2+1

    Représentation graphique : 0_1541254316593_vabs.jpg

    Etude de la continuité en x= 1
    f(1)=0f(1)=0f(1)=0
    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1∣x2−1∣=∣1−1∣=0=f(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}|x^2-1|=|1-1|=0=f(1)x1limf(x)=x1limx21=11=0=f(1)
    D'après la définition, f est continue en x=1
    Graphiquement , la courbe en rouge est représentée par un trait continue au voisinage du point A(1,0)

    Etude de la dérivabilité en x=1

    dérivabilité à droite
    x tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 : on note "x tend vers 1+"
    lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+x2−1−0x−1=lim⁡x→1+x2−1x−1=lim⁡x→1+x2−1x−1\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1-0}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}x1+limx1f(x)f(1)=x1+limx1x210=x1+limx1x21=x1+limx1x21

    Avec l'identité remarquable
    lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+(x+1)(x−1)x+1=lim⁡x→1+(x+1)=2\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x\to 1^+}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}= \lim_{x\to 1^+}(x+1)=2x1+limx1f(x)f(1)=x1+limx+1(x+1)(x1)=x1+lim(x+1)=2

    2 est le nombre dérivé à droite (c'est le coefficient directeur de le demi-tangente à droite,à la courbe au point A (vecteur directeur AB→\overrightarrow{AB}AB)

    dérivabilité à gauche
    x tend vers 1 par valeurs inférieures à 1 : on note "x tend vers 1-"
    Même principe en prenant f(x)=−x2+1f(x)=-x^2+1f(x)=x2+1
    On trouve
    lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=−2\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2x1limx1f(x)f(1)=2
    -2 est le nombre dérivé à gauche (c'est le coefficient directeur de le demi-tangente à gauche,à la courbe au point A (vecteur directeur AC→\overrightarrow{AC}AC)

    Vu que 2≠−22\ne-22=2 f n'est pas dérivable en x=1

    (si f était dérivable en x=1, il y aurait UN (seul) nombre dérivé qui se noterait f'(1) et la courbe aurait UNE tangente au point A de coefficient directeur f'(1))


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