Equation différentielle linéaire d'ordre 1

[dut]

Bonsoir,
je reprends les équations différentielles en vue du partiel.

par exemple pour: y' - $\frac{y}{x}$=x² sur ]o, +infini[

je sais que premièrement il faut trouver l'équation homogène en mettant 0 à la droite du égal comme ceci: y' - $\frac{y}{x}=0$

après comment trouver l'équation et comment poursuivre le calcul je ne sais pas trop

Merci par avance

[Noemi]

Bonsoir dut

$y^{\prime }-\frac{y}{x}$ = 0 donne $y^{\prime }=\frac{y}{x}$
que l'on peut écrire $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$
soit : $\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$
en intégrant
$lny=lnx+Cte$
D'où y = .....

Tu cherches ensuite une solution particulière.

[dut]

Bonjour Noemi,
si je comprends bien pour l'équation homogène il faut toujours avoir à gauche du égal seulement la fonction dérivée (représentée par ' ) tout le reste doit se trouver à droite du égal.

y= (ln(x) / ln(1)) + cst

[mtschoon]

Rebonjour Dut,

Avec le "problème de connexion actuelle", j'ignore si Noemi peut se connecter...
Je crains que Non, car je pense qu'elle t'aurait déjà répondu.

Alors , je regarde ce que tu indiques.

Pour l'équation homogène, ton idée (si je l'ai bien comprise) est bonne (tu mets à gauche les termes en y , et à droite les termes en x) , mais la conclusion que tu donnes pour y est fausse .
Il faudrait que tu connaisses les propriétés de la fonction ln

$lny=lnx+Contante$

Il faut écrire "judicieusement" cette Constante pour pouvoir isoler y

k étant une constante strictement positive, la "Constante" peut s'écrire lnk

$lny=lnx+lnk$

Avec une propriété de logarithme népérien :
$lny=ln(kx)$

D'où :$\boxed{y=kx}$

[mtschoon]

Une remarque mais J'ignore les théorèmes que tu as vu en cours...

En L1/Sup, pour résoudre toute équation homogène de la forme $\boxed{y’+a\left(x\right)y=0}$, il y a une conclusion générale :$\fbox{y=ke^{-A(x)}}$ avec k constante réelle et A primitive de a

Bien sûr, ce n'est pas magique car il faut trouver une primitive de a

Ici, $y^{\prime }+(-\frac{1}{x})y=0$

$a(x)=-\frac{1}{x}$ donc $A(x)=-lnx$ (si tu sais qu'une primitive de 1/x est lnx , pour x > 0)

D'où $\fbox{y=ke^{lnx}=kx}$

A toi de voir si cette méthode fait partie de ton cours...
Tu ne peux l'utiliser que si elle en fait partie.

Pour terminer ton exercice, il faut que tu trouves une solution particulière de l'équation générale $y^{\prime }+(-\frac{1}{x})y=x^2$ ( pour ensuite ajouter la solution générale de l'équation homogène avec la solution particulière de l'équation générale ).

Tu peux la trouver en"tâtonnant" avec astuce, mais il y a aussi la méthode dite par "variation de la constante" qui est très bien.
Alors, à toi de voir la méthode qu'il faut que tu emploies.

[dut]

Bonjour Mtschoon, Oui la conclusion fait bien partie de mon cours. Est-ce que cette méthode est valable dans tous les cas avec n'importe quels exemples? Il faut à chaque fois trouver seulement une primitive de la fonction y?

comment arrivez-vous à cette simplification K exp(ln x)= kx

Merci

[mtschoon]

Bonjour Dut,
Tant mieux que cette conclusion fasse partie de ton cours.
Cela va te simplifier le travail !
Tu peux appliquer directement le théorème pour toute équation différentielle de la forme $\boxed{y’+a\left(x\right)y=0}$ où a est une fonction de x.
Il faut à chaque fois trouver une primitive de la fonction a , que l'on appelle A, vu que $\fbox{y=ke^{-A(x)}}$

Pour ta dernière question :
la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont réciproques l'une de l'autre
(regarde un cours sur le sujet)
Pour tout U >0, $e^{ln(U)}=U$
Donc ici : $e^{ln(x)}=x$

Je te détaille un peu, mais bien sûr , il faudrait que tu travailles un cours sur fonction logarithme népérien et sur fonction exponentielle naturelle

La fonction exponentielle naturelle se note exp
La fonction logarithme népérien se note ln
Elles sont réciproques l'une de l'autre
Pour x > 0, $\boxed{exp\left(ln\right(x\left)\right)=x}$

On démontre que $\fbox{exp(x)=e^x}$
e est une constante qui vaut environ 2.781

$exp(ln(x))=x$ peut donc s'écrire $\fbox{e^{ln(x)}=x}$

Une vérification que tu peux faire à la calculette
Pour x=5 , $ln(5)\approx 1.609$ , $e^{1.609}\approx 5$
Tu retrouves ainsi que
$e^{ln(5)}=5$

[dut]

Re-bonsoir Mtschoon,
Je ne comprends pas vraiment la méthode "de la variation de la constante". Quels sont les étapes?
Merci
Bonne soirée

[mtschoon]

Tu ne dis pas clairement si cette méthode fait partie de ton cours..
Je t'indique la méthode ..

Tu sais que les solutions de l'équation homogène sont de la forme $\boxed{y=xk}$ avec k constante

Tu cherches une solution particulière de l'équation générale de la forme $\boxed{y=xk\left(x\right)}$

En bref, tu remplaces la constante $k$ par une fonction de $x$ : $k(x)$ (d'où le nom "variation de la constante")

a) Tu calcules la dérivée (dérivée d'un produit)
$y=xk(x)$
donc :
$y^{\prime }=1\times k(x)+x\times k^{\prime }(x)=k(x)+x{k}^{\prime }(x)$

b) Tu remplaces dans l'équation générale, qui s'écrit ainsi :
$k(x)+x{k}^{\prime }(x)-\frac{1}{x}.k(x).x=x^2$

Tu simplifies :
$k(x)+x{k}^{\prime }(x)-k(x)=x^2$

$x{k}^{\prime }(x)=x^2$

$k^{\prime }(x)=x$

c) Tu donnes une primitive de $k$' : $k(x)=\frac{x^2}{2}$

d) Tu tires la conclusion : une solution particulière de l'équation générale est :
$\fbox{y=x.\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}}$

CONCLUSION (FINALE)
Les solutions de l'équation $y^{\prime }-\frac{y}{x}=x^2$ sont :
$\fbox{y=\frac{x^3}{2}+kx}$ avec k constante.

Lorsque tu as compris, refais tout cela seul (et bien sûr entraîne toi avec les exercices de ton cours)

[dut]

Merci Mtschoon, je suis arrivé à refaire l'exercice seul.

[mtschoon]

C'est bien !
Bon travail.

[dut]

Bonjour petite question sur une equation diff clasique:
après calcul j'obtiens: k'(x) = $\frac{1}{e^{-x}+1}$ et je cherche à avoir =$\frac{e^x}{e^x+1}$ mais je ne trouve pas cette forme merci

[Noemi]

Bonjour dut

Remplace $e^{-x}$ par $\frac{1}{e^x}$

[mtschoon]

Re bonjour Dut et bonjour Noemi,

Dut, fais ce qu'indique Noemi.

Si tu veux aller peut-être un peu plus vite(pas sûr que ce soit plus rapide), tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur par $e^x$

$\frac{1}{e^{-x}+1}=\frac{e^x.1}{e^x(e^{-x}+1)}=\frac{e^x}{e^{x-x}+e^x}=\frac{e^x}{e^0+e^x}=\frac{e^x}{1+e^x}$

Tu as le choix!

[dut]

Bonjour Mtschoon et Noemi,
merci pour votre aide

[mtschoon]

De rien Dut et bon courage !