Les suites et les limites


  • ?

    Bonsoir tout le monde!
    J'ai deux questions concernant les suites et les limites donc la première est :
    Pourquoi une suite positive a une limite positive (ça peut paraître clair mais j'ai pas trouvé une manière pour le montrer )
    La deuxième question est :
    Si on a deux suites (Un) et (Vn), tel que (Un)>(Vn) est-ce-que ça nous permet de dire que lim(Un)>lim (Vn) ... si oui ; est-ce-que cela reste correct avec l'inverse.
    Mercii d'avance !!! 🙂


  • mtschoon

    Mathématicienne, Bonsoir,

    Pour la première question :
    Je suppose que tu parles d'une suite convergente
    une suite positive a effectivement une limite positive au sens large (strictement positive ou nulle)

    Idée :
    Pour le prouver, tu peux faire un raisonnement par l'absurde en utilisant la définition précise de la limite d'une suite

    Tu supposes la limite l<0l \lt 0l<0

    ∀ϵ>0, ∃n0 , ∀n≥n0,l−ϵ<Un<l+ϵ\forall \epsilon \gt 0,\ \exists n_0\ ,\ \forall n \ge n_0 , l-\epsilon \lt U_n\lt l+\epsilonϵ>0, n0 , nn0,lϵ<Un<l+ϵ

    Il te suffit de choisit ϵ=−l\epsilon=-lϵ=l, pour trouver une contradiction.

    Pour la seconde question,
    Tu peux utiliser le résultat de la première question en utilisant la suite définie par Wn=Un−VnW_n=U_n-V_nWn=UnVn qui sera à termes positifs

    La réciproque n'est pas vraie. Tout dépend du sens de variation de chaque suite.
    Tu peux donner un contre-exemple

    Reposte si besoin.


  • ?

    @mtschoon Mercii beaucoup
    Donc :
    On na Wn>0 donc automatiquement sa limite est positive (selon ce que on a prouver à la première question )


  • mtschoon

    Tout à fait exact pour la seconde question.

    Remarque :
    Pour la première question, je t'ai indiqué la définition avec les symboles mathématiques mais si tu n'as pas l'habitude, tu peux l'écrire en texte français.


  • ?

    Merci pour votre intérêt @mtschoon, je n'ai aucun problème, j'ai compris la définition , en plus elle me paraît plus clair que le texte !


  • mtschoon

    C'est très bien Mathématicienne !
    Bonne soirée.


  • ?

    @mtschoon bonne soirée ! 🌸