Resolution d'équations dans C

Bonjour je lutte énormément sur la résolution d'équation dans C.
J'ai regardé la démarche sur internet mais tout le monde y vas de sa méthode. Un moment je vois le calcul du discriminant et à des moments pas....

Je suis par exemple incapable de résoudre
1) $(z+iz−i)3(\frac{z+i}{z-i})^3$ =-1

2)z²- $3z\sqrt{3z}$ -i=0$
modification de la question 2 : $z2−3z−i=0z^2-\sqrt 3z-i=0$

3)iz²+(1-5i)z+6i-2=0

4)z^3 +3z-2i=0

Merci vraiment par avance si vous pouvez m'aider

Bonjour dut

Pour chaque équations à résoudre, différentes méthodes sont possibles.
Quelques pistes :

Résous pour $z$ ≠ $i$ ; $z+i)^3 +(z-i)^3$ = 0 ; tu développes et tu simplifies.
Je suppose que le $z$ n'est pas sous le radical et 3) , ce sont des équations du second degré donc tu peux utiliser la méthode avec le discriminant.
Equation de degré 3, tu peux chercher une racine évidente $z = i$ puis factoriser et ensuite résoudre une équation du second degré.
Pour la question 1) aussi tu aurais pu chercher une racine évidente.

Bonjour Dut et bonjour Noemi,

Dut, tu demandes de l'aide sur 4 équations ! j'espère que tu réalises la longueur...
Il aurait été plus clair d'ouvrir 4 discussions distinctes.
Le discriminant dont tu parles est relatif exclusivement à la résolution d'équations du second degré.

Noemi t'a donné des idées générales pour t'aider à répondre aux 4 questions.
C'est déjà très important.

Je t'explicite une possibilité pour la première équation.
Tu peux faire le changement de variable :
$Z=z+iz−i\displaystyle Z=\frac{z+i}{z-i}$ pour résoudre l'équation auxiliaire $Z^3=-1$
Ton cours te donne-t-il les racines cubiques de -1 ?
Si c'est le cas, cela te simplifie la tâche...
Les racines cubiques de -1 sont
$\fbox{-1}\ ,\ j=\fbox{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}}\ ,\ j^2=\fbox{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}}$

Si ton cours ne te les donnes pas, tu peux les calculer.
Demande si tu as besoin de les calculer et si tu n'y arrives pas.

Ensuite, il te reste 3 équations assez simples à résoudre

1er cas : $Z=-1\fbox{Z=-1}$
$z+iz−i=−1\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-1$
$z + i = - 1 (z - i)$
Tu développes, tu mets les termes en à gauche, les autres à droite.
Tu termines la résolution et tu dois trouver $z=0\fbox{ z=0}$

2ème cas : $\fbox{Z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}}$
$z+iz−i=12+i32\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}$
Tu appliques la même méthode qu'au premier cas
Tu dois trouver $\fbox{z=\sqrt 3}$

3ème cas : $\fbox{Z=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}}$
$z+iz−i=12−i32\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}$
Tu appliques la même méthode qu'au premier cas
Tu dois trouver $\fbox{z=-\sqrt 3}$

Bons calculs !

Bonjour Noemi et bonjour Mtschoon,
Oui je suis conscient de la longueur.
Mais je voulais juste quelques pistes j'aimerais essayer d'y arriver par moi même. Si je suis bloqué je vous demanderai de l'aide.
Merci

Bonjour mtschoon et dut,

Il me semble qu'il y a une erreur sur les racines cubique de -1
Ce sont : -1 ; $12+i32\dfrac{1}{2}+i\dfrac{ \sqrt3}{2}$ et $12−i32\dfrac{1}{2}-i\dfrac{ \sqrt3}{2}$

La méthode proposée conduit à $z^3-3z=0$ qui donne pour solutions :
0 ; $3\sqrt3$ et - $3\sqrt3$

Merci Noemi, tout à fait d'accord sur les racines cubiques de -1 .
j'ai modifié mon message.

Daccord Dut, demande de l'aide si besoin.

Bonsoir,
Je veux bien si possible un petit coup de pouce pour le calcul des racines cubiques

Pour les racines cubiques de (-1), il y a plusieurs façons.

Il faut résoudre $Z^3=-1$
Si tu veux rester sous la forme algébrique :

i) $Z^3+1=0$ c'est à dire $Z^3-(-1)^3=0$
Le plus simple est de factoriser avec l'identité :
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Ici, a=Z et b=-1
d'où
$Z^3+1=0$ <=> $Z+1)(Z^2-Z+1)=0$

1er cas : Z+1=0 <=> Z=-1
2ème cas : $Z^2-Z+1=0$
Tu résous cette équation du second degré en passant par le discriminant et tu trouves les deux autres racines cubiques.

ii) Si tu ne connais pas l'identité remarquable, tu peux aussi factoriser en utilisant la "solution évidente" (-1) pour résoudre algébriquement, en mettant (Z-(-1)) c'est à dire (Z+1) en facteur :
$Z^3+1=(Z+1)(aZ^2+bZ+c)$
Par identification, tu trouves a et b, d'où $Z^3+1=(Z+1)(Z^2-Z+1)$
Tu termines comme précédemment.

iii) Si tu connais la forme trigonométrique- exponentielle, tu peux aussi.

$Z=zeiθZ=ze^{i\theta}$ et $−1=1eiπ-1=1e^{i\pi}$

$Z^3=-1$ <=> $r3e3iθ=1eiπr^3e^{3i\theta}=1e^{i\pi}$

D'où :
$r^3=$ 1 <=> $r = 1$
$3θ=π+2kπ3\theta=\pi +2k\pi$ <=> $θ=π3+2kπ3\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}$ (k entier)

Tu peux donner à k les valeurs 0,1,2 (pour toutes les autres valeurs de k, on retrouve les mêmes arguments)

Pour k=0 , $θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}$ d'où $Z=eπ3=cosπ3+isinπ3=12+i32Z=e^{\frac{\pi}{3}}=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}$

Pour k=1 , $θ=π\theta=\pi$ d'ou $Z=eiπ=...=−1Z=e^{i\pi}=...=-1$

Pour k=2 , $θ=5π3\theta=\frac{5\pi}{3}$ d'où $Z=e5π3=...=12−i32Z=e^{\frac{5\pi}{3}}=...=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}$

A toi de voir ce que tu peux faire en fonction de ton cours.

Bonjour je vais utiliser la forme trigo exponentielle.
Est-il possible d'avoir quelques précisions sur 2/3 points.

@mtschoon a dit dans Resolution d'équations dans C :

iii) Si tu connais la forme trigonométrique- exponentielle, tu peux aussi.

$Z=zeiθZ=ze^{i\theta}$ et $−1=1eiπ-1=1e^{i\pi}$

$Z^3=-1$ <=> $r3e3iθ=1eiπr^3e^{3i\theta}=1e^{i\pi}$

D'où :
$r^3=$ 1 <=> $r = 1$
$3θ=π+2kπ3\theta=\pi +2k\pi$ <=> $θ=π3+2kπ3\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}$ (k entier)

je sais que Z est de la forme Z exp(io) mais pourquoi "=1exp(i PI) je pense que le PI vient du -1 de l'énoncé

Z^3 =-1 OK
Z^3 exp(3io) OK toujours pareil pourquoi ce 1 exp(i pi)? en sachant que ce 1 est positif alors que dans l'énoncé on a Z^3 =-1

pourquoi r^3 =1
et comment on sait que 3o= PI + 2kPI

Pour la fin c'est bon je sais comment récupérer les valeurs

Merci
Pour

Pour utiliser la forme exponentielle, chaque membre de l'égalité $Z^3=-1$ doit être mis sou forme exponentielle

Il faut donc mettre -1 sous forme exponentielle.
Si tu places -1 dans le plan complexe, tu trouves directement que le module vaut 1 et que un argument vaut $π\pi$

Tu peux bien sûr, faire le calcul
-1=-1+0i
soit $ρ\rho$ son module
$ρ=(−1)2+02=1\rho=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$

soit $α\alpha$ un argument
$cosα=−11=−1cos\alpha=\frac{-1}{1}=-1$
$sinα=01=0sin\alpha=\frac{0}{1}=0$
Donc $[2π]\alpha=\pi\ [2\pi]$

Conclusion :
$\fbox{-1=\rho e^{i\alpha}=1\times e^{i\pi}=e^{i\pi}}$

Ensuite, pour résoudre l'équation $Z^3=-1$ , tu écris l'égalité des modules et l'égalité des arguments, modulo $2π2\pi$

L'égalité des modules te donne $r^3=1$
L'égalité des arguments te donne : $3θ=π[2π]3\theta=\pi [2\pi]$
Pour éviter des oublis, je trouve préférable d'écrire ( ce qui veut dire pareil): $3θ=π+k(2π)3\theta=\pi+k(2\pi)$ avec $\in Z$

Merci Mtschoon j'ai compris

C'est bien Dut,

J'espère que tu es passé aux équations du second degré.

Tout as fait Mtschoon je suis sur la iz²+(1-5i)z+6i-2=0
Je trouve comme discriminant -2i
Donc grâce à ça:
https://www.mathematiquesfaciles.com/solutions-complexes-d-une-equation-de-degre-2_2_45257.htm

Je connais les 2 solutions , mais je ne sais juste pas déterminer le r qui, si j'ai bien compris est une racine.

Bonsoir dut,

Voici un lien, sur un cours, donné dans un autre post par mtschoon :
https://homeomath2.imingo.net/complex9.htm
Il te permet de déterminer les racines carrés d'un nombre complexe.

Bonsoir Dut et Noemi,

Le lien que tu indiques Dut, n'est pas très bon car les formules sont données dans le cas particulier où a,b,c sont réels (avec a non nul), dont $Δ\Delta$ est réel, positif, nul ou négatif.

Regarde plutôt le premier paragraphe de ce lien où a,b,c sont complexes (avec a non nul) . C'est le cas général.
http://lescop.gmp.free.fr/IMG/pdf/trinome_complexe.pdf

Les racines carrées de $Δ\Delta$ sont notées $+δ+\delta$ et $−δ-\delta$
Dans le site, l'inconnue complexe s'appelle x.
Dans tes exemples, de façon traditionnelle, l'inconnue complexe s'appelle $z$
Les solutions s'écrivent donc :
$\fbox{z_1=\frac{-b+\delta}{2a}}$ et $\fbox{z_2=\frac{-b-\delta}{2a}}$

Noemi t'a conseillé un très bon site pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe.
Cela te permet de trouver les racines carrées $+δ+\delta$ et $−δ-\delta$ du discriminant $Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac$ d'une équation du second degré.

L'exemple donné sur le site, par hasard, est le calcul des racines carrées de 3+4i qui est le discriminant de l'équation $z2−3z−i=0z^2-\sqrt 3z-i=0$

Pour l'équation $iz^2+(1-5i)z+6i-2=0$ , le discriminant que tu donnes est bon
$Δ=−2i\Delta=-2i$
Tu peux écrire $Δ=0−2i\Delta=0-2i$

Sauf erreur, les racines carrées de $Δ\Delta$ sont $1 - i$ et $- 1 +$ i

Tu peux écrire par exemple $+δ=1−i+\delta=1-i$ et $−δ=−1+i-\delta=-1+i$

Tu en déduis les solutions de l'équation qui doivent être $2$ et $3 + i$

Bons calculs .

Bonsoir, merci pour les explications:
C'est exactement le résultat que je viens d'obtenir et que j'étais en train de vous taper pour vérification.

J'essaie l'autre maintenant

Pour z²=1+i $3\sqrt{3}$
j'ai fait des opérations afin d'obtenir: z²-1-i $3\sqrt{3}$ =0
En discriminant = 1-4i $3\sqrt{3}$
Après je suis très long pour déterminer x et y pour les racines, avez vous une astuce car j'essaie plein de possibilités pour que ça marche mais ça prend du temps

Merci Bonne soirée

C'est le discriminant de quelle équation ?

Pour résoudre $z2=1+i3z^2=1+i\sqrt3$
Utilise la forme exponentielle
$1+i3=2eiπ31+i\sqrt3 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$

D'accord je refait le calcul avec la forme exp mais pourquoi nous n'utilisons pas le discriminant dans ce cas? c'est bien une équation de degré 2?

Bonjour dut,

J'ai indiqué la forme exponentielle car tu as demandé une solution plus rapide.
Tu peux utiliser le discriminant dans ce cas delta = $4(1+i3)4(1+i\sqrt3)$ mais ce n'est pas judicieux car l'équation ne contient pas de terme en $z$ , il faut calculer directement la racine carré.

Bonjour Noemi,
je comprends pourquoi utiliser la forme exponentielle.
Voila ce que j'obtiens:

|z²|= $(1)2+(3)2\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2}$ =2
cos $θ=12\theta = \frac{1}{2}$
sin $θ=32\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Z²= 2 $exp⁡(iπ3)\exp{(i \frac{\pi}{3})}$
Z²= R exp(i2 $θ\theta$ )
=2 exp(i. $π3+2k)\frac{\pi}{3}+2k)$
avec k € Z

@dut

Tu dois déduire
$z2=(2eiπ6)2z^2 = (\sqrt2 e^\frac{i\pi}{6})^2$ soit $z = . . . .$

$z2=(2eiπ6)2z^2 = (\sqrt2 e^\frac{i\pi}{6})^2$ ne vaut pas: $(2eiπ3)2(\sqrt2 e^\frac{i\pi}{3})^2$ ?
donc après il faut appliquer le 2
=2exp(i² ( $π\pi$ ²/3))? Ca semble bizarre ce que je viens de faire

Bonjour Dut et Noemi

Une remarque Dut :
La méthode avec "forme exponentielle" est très bien ici car $1+i31+i\sqrt 3$ a un argument remarquable . Donc tu as le choix entre forme exponentielle et forme algébrique.
Mais, lorsque l'argument n'est pas un angle remarquable, tu es obligé, pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe, d'utiliser la forme algébrique (qui, elle, est utilisable dans tous les cas).

Tu as déjà vu cette méthode pour trouver les racines cubiques de -1 dans le début de ce long topic.
Je te conseille de le revoir car la démarche est exactement la même.

Tu as répondu précédemment :
"Z²= R exp(i2\thetaθ)
=2 exp(i.\frac{\pi}{3}+2k) "
Il y a des confusions à rectifier.

Soit $Z=reiθZ=re^{i\theta}$ donc $Z2=r2e2iθZ^2=r^2e^{2i\theta}$
$r2e2iθ=2eiπ3r^2e^{2i\theta}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$

Egalité des modules : $r^2=2$ donc $r=2r=\sqrt 2$
Egalité des arguments : $2θ=π3+2kπ2\theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k∈Zk\in Z$ donc $θ=π6+kπ\theta=\frac{\pi}{6}+k\pi$

Tu donnes à k les valeurs 0 et 1 ( pour toutes les autres valeurs de k, tu trouves les mêmes arguments)

Pour k=0, Z=... (tu termines)
Pour k=1, Z=...(tu termines)

Pour k=0, Z=2exp(i $π\pi$ /6)
Pour k=1, Z=2exp(i 7 $π\pi$ /6)

Voilà ce que j'obtiens si je ne me trompe pas

Faire attention au module

r ne vaut pas 2, il vaut $2\sqrt 2$

Oui effectivement désolé pour l'erreur et merci

De rien, bon travail !