Exercice à preparer 3e maths


  • E

    Voici ma figure :
    0_1545069164671_b379d8c4-ab72-444e-b2e9-95f721ec5632-image.png

    La question est :
    On considère le rectangle ci-contre inscrit dans un cercle de diamètre 4 cm.
    On souhaite déterminer la longueur AB au mm près qui permettra d'obtenir l'aire maximale du rectangle ABCD.

    Merci de bien vouloir m'aider ! ☺


  • mtschoon

    emmxxx bonsoir,

    C'est très bien d'avoir joint la figure, Merci !

    Une piste algébrique possible pour "préparer ton exercice"

    Vu que tu cherches la longueur AB, tu peux poser AB=x
    Nécessairement 0≤x≤40 \le x \le 40x4 (car diagonale du rectangle=4cm)

    Avec le théorème de Pythagore:
    AB²+AD²=BD² c'est à dire x²+AD²=16 <=> AD²=16-x²
    AD=16−x2AD=\sqrt{16-x^2}AD=16x2

    L'aire d'un rectangle est donc f(x)=x16−x2f(x)=x\sqrt{16-x^2}f(x)=x16x2

    Avec une méthode dont tu as l'habitude j'espère (calculette graphique avec la fonction table ou Tableur) il te reste à donner la valeur de x (comprise entre 0 et 4) , à 1mm près (c'est à dire à 0.1 près vu que l'unité utilisée est le cm), pour laquelle f(x) est maximale.

    Reposte si besoin.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir emmxxx et mtschoon,

    C'est un exercice niveau 3ème, donc je propose une solution plus simple.
    Le rectangle ABCD est constitué de deux triangles identiques ABD et CBD, donc son aire est maximale si l'aire d'un triangle est maximale.
    L'aire du triangle ABD = BD x h / 2 si h est la hauteur issue du point A.
    L'aire du rectangle est donc BD x h
    vu que BD = 4 cm, l'aire est maximale si h est maximale et la plus grande hauteur que l'on peut tracer correspond au rayon, soit 2 cm.
    Donc le triangle BOA est rectangle isocèle en O.
    Je te laisse calculer BA sachant que OB = OA = 2.

    Propose ta réponse pour le calcul de BA si tu souhaites une correction.


  • mtschoon

    Bonjour emmxxx et Noemi,

    @emmxxx
    Tu as ainsi deux possibilités pour traiter ton exercice.

    Ma proposition est tournée vers une démonstration type plutôt lycée.
    La proposition de Noemi est tournée vers une observation type collège.

    Utilise la méthode qui est la plus adaptée à ton cours actuel et qui te convient le mieux.

    Eventuellement, si tu maîtrises les deux méthodes, tu fais les deux et tu vérifies que tu trouves le même résultat.


  • mtschoon

    Pour pouvoir vérifier :
    Sauf erreur : x≈2.8x\approx 2.8x2.8


  • E

    Bonsoir mtschoon et noemi,
    Excusez moi de ne pas vous avoir répondu plus tôt,
    Déjà merci car ça ma vraiment aider ☺
    J'ai pas trop trop compris mais je vais le revoir ce week-end ou bien dans la semaine prochaine.
    Si ça ne vous dérange pas, je vous poserais peut-être des questions par la suite.
    Un grande merci à vous deux. ☺


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir emmxxx,

    N'hésite pas à nous poser les questions ou toutes demandes d'explication.


  • E

    Bonjour Noemi,
    BA=4 cm car c'est un triangle isocèle donc les deux côté sont identiques (de même longueurs).
    Je ne comprends pourquoi vous avez marqué BOA alors qu'il n'y a pas de rectangle BOA.
    Merci de bien vouloir m'expliquer.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour emmxxx,

    OA est la hauteur du triangle ABD, donc (OA) est perpendiculaire à (BD)
    comme [OA] = [OB], le triangle OAB est donc rectangle isocèle en O.


  • E

    D'accord merci ! ☺
    Vous m'avez demander de dire BA=?
    Donc, BA=4cm
    C'est bien cela ?


  • N
    Modérateurs

    Non,

    Pour calculer BABABA tu appliques la propriété de Pythagore.
    BA2=OA2+OB2BA^2=OA^2+OB^2BA2=OA2+OB2


  • E

    Haaa d'accord !
    donc :
    BA²=OA²+OB²
    BA²= 2²+2²
    BA²= 4 + 4
    BA²= 8
    BA= √8
    Est-ce cela ?
    merci beaucoup ☺


  • N
    Modérateurs

    Oui c'est correct,
    Tu peux écrire 8=22\sqrt8 = 2\sqrt28=22
    puis indiquer la longueur de AB au mm près.


  • E

    Donc, AB² = 28 mm
    es ce cela ?


  • N
    Modérateurs

    @emmxxx,

    C'est juste.


  • E

    D'accord. Merci beaucoupppp ☺
    Après que dois - je chercher ?


  • E

    La prof nous a dit de le faire en fonction de x donc je ne sais pas si nous avons bien rédiger


  • N
    Modérateurs

    Bonjour emmxxx,

    Essaie de faire la méthode proposée par mtschoon.

    Indique tes questions si tu ne comprends pas.


  • E

    D'accord je vais essayer


  • mtschoon

    Bonjour emmxxx et bonjour Noemi,

    @emmxxx
    Si ton professeur veut la solution avec l'inconnue "x" , c'est la méthode algébrique que je t'ai proposée qui semble être celle qu'il te faut.
    (tu aurais dû l'indiquer dès le début avec l'énoncé...)
    Je n'ai peut-être pas trop détaillé le principe, alors demande ce que tu ne comprends pas.


  • N
    Modérateurs

    @emmxxx

    C'est le théorème de Pythagore
    BD2=AB2+AD2BD^2 = AB^2 + AD^2BD2=AB2+AD2
    si on pose AB=xAB = xAB=x la relation devient
    42=x2+AD24^2 = x^2 + AD^242=x2+AD2
    d'ou AD=.....AD = .....AD=.....


  • mtschoon

    @mtschoon a dit dans Exercice à preparer 3e maths :

    AB²+AD²=BD² c'est à dire x²+AD²=16 <=> AD²=16-x²

    (Le diamètre du cercle est BD=4 donc BD²=16)


  • E

    Haa d'accord merci ☺


  • mtschoon

    De rien emmxxx.
    Reposte si tu as un problème pour terminer.


  • E

    @mtschoon
    Voila ce que j'ai fais, dites moi si cela va pour le moment :
    Je sais que le cercle est de diamètre 4 cm.
    Je cherche la longueur de AB donc on peut dire que AB= x.
    x sera obligatoirement compris entre 0 et 4 car la diagonale du rectangle est égale à 4 cm.
    Pour trouver AB, je vais utiliser le Théorème de Pythagore,
    Je sais que BD = 4 cm et AB = x.
    D'après le Théorème de Pythagore,
    AB²+AD²=BD²
    x²+ AD² = 4²
    AD² = 16 – x²
    AD = 16 – x²
    Donc, l'aire du rectangle est donc f(x) = 16 – x²
    ☺


  • E

    Non, je me suis trompée.
    AD = √16 - x²
    Donc, l'aire du rectangle est f(x) = x√16 - x²
    Est-ce cela ??
    ☺


  • mtschoon

    Oui,ta dernière réponse est bonne.

    l'aire du rectangle est f(x)=x×16−x2f(x)=x\times \sqrt{16-x^2}f(x)=x×16x2

    On écrit usuellement f(x)=x16−x2f(x)=x\sqrt{16-x^2}f(x)=x16x2


  • E

    Merciii
    Donc j'ai maintenant l'aire = f(x) = x√16 - x²
    Mais, il me manque la longueur de AB au mm près.
    Je ne vois pas comment la trouver.
    Pouvez-vous m'aider ?
    ☺


  • N
    Modérateurs

    Bonjour emmxxx,

    Que connais tu sur les fonctions ?


  • E

    Je l'ai est vu oui.
    Nous avons fais les images ainsi que les antécédents.
    Je ne sais pas trop comment vous l'expliquez


  • N
    Modérateurs

    Tu as vu les fonctions avec racine carrée ?
    Tu utilises ta calculatrice pour calculer les images ? un maximum ?


  • mtschoon

    Bonjour Noemi,

    Je crains que emmxxx ne connaisse pas grand'chose de ces fonctions ...

    En consultant un manuel actuel de Seconde, je constate que les représentations graphiques, calculettes, tableurs, sont très à la mode.
    Comme je l'avais indiqué dans mon premier message, je pense que c'est vers un de ces outils qu'il doit se tourner.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour mtschoon, emmxxx

    Tu indiques la classe de Seconde, mais le post est sur la classe 3ème.
    Emmxxx est-il en seconde ?


  • E

    @mtschoon et @Noemi
    Oui j'utilise la calculatrice pour calculer les images et faire des tableaux si besoin.


  • E

    Là nous avons trouver l'aire du rectangle mais pas l'aire maximale c'est bien ça ?
    Là je dois trouver AB au mm près et après l'aire maximale de ABCD. C'est bien cela ??
    ☺


  • mtschoon

    Exact Noemi, emmxxx poste en 3ème.

    En 3ème, emmxxx doit savoir encore moins de choses sur les fonctions que s'il etait en Seconde !
    (Il faudra qu'il attende d'être en Première pour savoir étudier ce type de fonction...)


  • E

    @mtschoon Est-ce bien cela ? (par rapport à mon dernier message )
    ☺


  • mtschoon

    @emmxxx

    f(x) est l'aire du rectangle, en fonction de x
    Tu dois trouver (avec une méthode que tu connais) la valeur de x pour laquelle cette fonction a son maximum (sur l'intervalle (0,4])


  • N
    Modérateurs

    @emmxxx,

    Oui tu remplaces xxx par des valeurs variant de 0 à 4 avec un pas de 0,1 avec la calculatrice pour chercher la valeur de AB et l'aire maximale.


  • E

    Haa d'accord je vais essayer mercii beaucoupp à vous deux !!! ☺


  • mtschoon

    @emmxxx

    Si tu ne fais pas d'erreur, tu dois trouver (pour le maximum), la valeur de x que je t'ai indiquée au début de cette (longue) discussion et que tu as trouvée avec l'autre méthode proposée par Noemi.


  • E

    J'ai trouvé que x = 2,8etf(x)=7,998399842,8 et f(x) = 7,998399842,8etf(x)=7,99839984
    Est-ce cela ?
    @mtschoon & @Noemi ☺


  • mtschoon

    OUI ! c'est bon.


  • N
    Modérateurs

    Oui c'est correct, tu peux arrondir l'aire.


  • E

    Oui je viens de m'en apercevoir. Et bien nous avons trouver la même chose 2,8.
    Donc, j'ai fais le tableau du début 0 et de la fin 4 avec un pas de 0,1 et juste je ne comprends ce que signifie f(x) dans le tableau = 7,99839984
    ( Je sais je ne comprends pas grand chose mais j'en profite pour vous posez des questions)


  • mtschoon

    Une remarque emmxxx,

    La valeur exacte (que tu as trouvée avec la méthode "géométrique" est 8\sqrt 88

    Si tu calcules f(8)f(\sqrt 8)f(8) , tu trouveras exactement 8


  • N
    Modérateurs

    Nous te l'avons indiqué, f(x) est l'aire du rectangle.


  • E

    AB = 2,8 cm et comme il le demande en mm AB = 28 mm.
    Donc, l'aire maximale est 7,99839984
    Est-ce bien cela ?


  • mtschoon

    Oui, la valeur approchée pour AB est 2.8cm c'est à dire 28 mm.

    Comme Noemi te l'a déjà dit , tu peux arrondir l'aire maximale à 8 cm² (qui est, en fait, la valeur exacte).


  • E

    Merciiii beaucoup à vous deuxxxx ☺


  • mtschoon

    De rien !☺
    Revois tout cela pour être sur(e) d'avoir bien compris.


  • E

    Oui je suis en train.
    Merciiii ☺


  • E

    Je peux vous copie coller ce que j'ai marquer pour savoir si cela va ?? ☺


  • E

    e sais que le cercle est de diamètre 4 cm.
    Je cherche la longueur de AB donc on peut dire que AB= x.
    x sera obligatoirement compris entre 0 et 4 car l'hypoténuse du rectangle DBA est égale à 4 cm.
    Pour trouver AB, je vais utiliser le Théorème de Pythagore,
    Je sais que BD = 4 cm et AB = x.
    D'après le Théorème de Pythagore,
    AB²+AD²=BD²
    x²+ AD² = 4²
    AD² = 16 – x²
    AD = √16 – x²
    L'aire d'un rectangle c'est longueur × largeur.
    AB × AD = x × √16 – x²
    Donc, l'aire du rectangle est donc f(x) = x √16 – x²

    Je fais un tableau en remplaçant x par des valeurs variant entre 0 et 4 car l'hypoténuse du rectangle DBA est égale à 4 cm. Cela me permettra de trouver la valeur de AB et l'aire maximale du rectangle ABCD.

                                                      ( Le tableau sera ici )
    

    On observe que l'aire est la plus grande quand x = 2,8 mm. On converse 2,8 cm en mm, ce qui nous donne 28 mm.
    Donc, AB ≈ 28 mm près.
    Comme j'ai trouvé que la longueur de AB, je peux maintenant trouver l'aire maximale.
    Dans le tableau si dessus, on observe que 2,8 = 7,9983 = √8.
    √8 est la valeur exacte.
    Donc, l'aire maximale du rectangle ABCD est 8 cm².
    Est-ce bon ??
    ☺
    (Après je ne vous embette plus @mtschoon )


  • mtschoon

    Pas de soucis emmxxx.
    Tu n'embêtes personne !

    Ton explication est correcte sauf pour une égalité où tu mélanges les valeurs de x avec celle de f(x)
    Tu as écrit on observe que 2,8 = 7,9983 = √8
    Il faut séparer la valeur de AB avec celle de ABCD

    MAXIMUM
    Pour AB : 2.8≈82.8 \approx \sqrt 82.88
    Pour l'aire ABCD : f(2.8)≈f(8)f(2.8) \approx f(\sqrt 8 )f(2.8)f(8)
    f(8)=8f(\sqrt 8)=8f(8)=8


  • E

    Si je fais la formule en remplaçant x par 2,8 je trouve 8 ou √8 ??


  • N
    Modérateurs

    @emmxxx

    Tu dois trouver 8.


  • E

    Pourquoi @mtschoon avez vous marquez que AB = √8 et pas 8 ??
    @Noemi


  • E

    On observe que l'aire est la plus grande quand x = 2,8 mm. On converse 2,8 cm en mm, ce qui nous donne 28 mm.
    Donc, AB ≈ 28 mm près.
    Comme j'ai trouvé que la longueur de AB, je peux maintenant trouver l'aire maximale.
    Je sais que le cercle est de diamètre 4 cm.
    Je cherche la longueur de AB donc on peut dire que AB= x.
    x sera obligatoirement compris entre 0 et 4 car l'hypoténuse du rectangle DBA est égale à 4 cm.
    Pour trouver AB, je vais utiliser le Théorème de Pythagore,
    Je sais que BD = 4 cm et AB = x.
    D'après le Théorème de Pythagore,
    AB²+AD²=BD²
    x²+ AD² = 4²
    AD² = 16 – x²
    AD = √16 – x²
    L'aire d'un rectangle c'est longueur × largeur.
    AB × AD = x × √16 – x²
    Donc, l'aire du rectangle est donc f(x) = x √16 – x²

    Je fais un tableau en remplaçant x par des valeurs variant entre 0 et 4 car l'hypoténuse du rectangle DBA est égale à 4 cm. Cela me permettra de trouver la valeur de AB et l'aire maximale du rectangle ABCD.
    ( Tableau)
    On observe que 2,8² = √8.
    √8 est la valeur exacte.
    On remplace x par √8. La formule est f(√8) = √8 × √16 – √8² ≈ 8.
    Donc, l'aire maximale du rectangle ABCD est 8 cm².
    Voila, normalement ça devrai être juste. Dites moi
    @mtschoon & @Noemi ☺


  • E

    Pardon, √8 × √16 – √8² = 8.
    (J'avais marqué que cela était ENVIRON égal à 8 )


  • mtschoon

    Tu demandes : pourquoi avez vous marquez que AB = √8 et pas 8 ?

    Réponse :
    AB=8AB=\sqrt 8AB=8
    aire(ABCD)=8aire(ABCD)=8aire(ABCD)=8
    Ne confonds pas les deux...

    Je regarde l'ensemble
    Tu as écrit 2,8² = √8 : c'est faux 8≈2.8\sqrt 8\approx 2.882.8

    Tu as écrit f(√8) = √8 × √16 – √8² = 8.
    L'écriture n'est pas bonne.
    f(8)=816−(8)2=816−8=88=8f(\sqrt 8)=\sqrt 8\sqrt{16-(\sqrt 8)^2}=\sqrt 8\sqrt{16-8}=\sqrt 8\sqrt 8=8f(8)=816(8)2=8168=88=8


  • E

    Haa oui je viens de voir ! Mercii beaucoup @mtschoon !! ☺
    J'ai corriger cela et normalement tout est juste après !


  • E

    @mtschoon Entre le premier √8 et √16 ... Il y a bien un multiplier (×) ??


  • mtschoon

    Oui.

    Lorsqu'il y a deux nombres A et B, le produit A×BA\times BA×B peut s'écrire plus simplement ABABAB


  • E

    D'accord mercii beacouppp !! ☺
    Et pour le tableau, je commence à écrire donc deux lignes avec x et l'autre avec f(x) = x × √16 - x² et je marque donc 0 et en bas 0 ainsi de suite mais au lieu de tout écrire ( car ça ne rentrera jamais sur ma feuille si j'écris tout le tableau et en plus le pas est de 0,1) je peux faire un case avec trois petits points dedans et ensuite reprends plus loin ??
    Je ne sais pas si vous avec compris


  • mtschoon

    Oui, j'ai compris, mais là, c'est à toi de voir la rédaction sur ta copie.
    Les "petits points" me paraissent convenir, mais c'est à ton professeur de juger !


  • E

    C'est elle qui nous à dit que l'on pouvais les faire. Je lui demanderai pour être sur !
    Encore mercii @mtschoon !! ☺


  • mtschoon

    Une réflexion finale sur le sujet.

    Avec la méthode algébrique (avec l'inconnue x et la calculette ) tu ne peux avoir, pour AB, que la valeur approchée 2.8 cm (qui est demandée).

    Si tu veux obtenir , pour AB ,bien qu'elle ne soit pas vraiment demandée, la valeur exacte 8\sqrt 88, en toute rigueur, il faudrait que tu rédiges, en complément, la méthode géométrique proposée par Noemi.

    Evidemment, ça te complique la rédaction...c'est à toi de voir...

    Je crois que l'on a fait maintenant le tour de la question.

    Bon travail ! ☺


  • E

    Je pense que je vais rester sur ce que j'ai fais. Car il demande une valeur au mm près et c'est bien ce que j'ai fais ! Et aussi parce que j'ai dit que AB devais obligatoirement être compris entre 0 et 4 car l’hypoténuse est égale à 4 cm. Si je laisse mon devoir comme cela, ça va je n'est pas d'erreurs ??
    @mtschoon


  • mtschoon

    Je pense que tu ne fais pas d'erreurs ainsi .
    (Le calcul de la valeur exacte de AB (8\sqrt 88) aurait été un supplément)

    En tout cas, tu as bien travaillé !☺


  • E

    Mercii ! Mais c'est vous qui m'avez bien aider !! ☺


  • mtschoon

    C'est normal.
    C'est le but du forum.
    Bonnes vacances ☺


  • E

    Bonnes vacances ☺


  • mtschoon

    Merci ☺


  • E

    Bonjour, @mtschoon
    J'ai posé cette question à la prof par rapport au tableau:
    Est-ce que au lieu de marquer tout les nombres dans le tableau, on peut mettre trois points de suspension et continuer à un autre nombre ?
    Mais je n'ai pas compris comment elle veut que je fasse le tableau:
    Il faut choisir des valeurs intéressantes : un pas assez grand au départ, une valeur de fin bien étudiée : peut-on avoir un côté de 10 cm avec une diagonale de 4 cm ? Et après refaire un tableau avec un pas plus petit avec deux nouvelles valeurs de début et de fin bien choisies. Ainsi une dizaine de valeurs par tableau devraient suffire. Pas la peine d'avoir un tableau trop chargé.
    Pouvez-vous me l'expliquez ?? Merci ☺


  • N
    Modérateurs

    Bonjour emmxxx,

    Au début tu choisis un pas de 1, donc tu as un tableau avec 5 valeurs.
    Tu en déduis que le nombre est compris entre 2 et 3.
    Puis tu fais un tableau avec un pas de 0,1, de 2,1 à 2,9 soit 9 valeurs.


  • E

    D'accord donc on a différents nombres genre pour 1 c'est compris entre 2 et 3 et pour 0,1 c'est compris entre deux autres nombres ? ☺
    Merci @Noemi


  • mtschoon

    Bonjour emmxxx et Noemi,

    @emmxxx

    Avec les valeurs que tu as utilisées pour le(s) tableau(x), tu peux peut-être, pour illustration, si tu le trouves utile, faire la représentation graphique de la fonction f
    Je te joins la courbe (faite avec geogebra)
    0_1546249638344_Fonc.jpg


  • N
    Modérateurs

    @emmxxx,

    Tu as deux tableaux à faire un avec 0, 1, 2, 3 et 4
    et l'autre de 2,1 à 2,9 puis tu choisis le maximum qui est pour x = 2,8.


  • E

    Ok d'accord je l'ai est fait merci encore à vous deux !! ☺
    @mtschoon & @Noemi


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