Les nombres complexes

Bonjour tout le monde et bonne année!
J'ai un problème concernant les nombres complexes, voilà l'exercice
1- résoudre l'équation z^2-2z+1+m2=0 tel que m appartient à C* (j'ai trouvé 1-im et 1+im)
2- on a A (1+mi) et B (1-mi)
a- prouver que O et A et B sont alignés si et seulement si m appartient à iIR (C'est fait )
b- prouver que (OA) et (OB) sont perpendiculaire équivaut |m|=1 (c'est fait )
3- soit m= e^i(alpha) tel que alpha appartient à ]-PI/2,PI/2[
a- écrit 1-im et 1+im sous forme trigonométrique (je me bloque ici !)
Merci d'avance

EL bonjour et bonne année à toi !

Pour le 3)a)
Dans chaque formule, tu peux mettre $eiαe^{i\alpha}$ sous forme trigonométrique

Pour 1+im je trouve :

Donc je dois remplacer m par ça valeur
Je ne suis pas convaincu par cette réponse, je sais pas !
@mtschoon Est-ce que vous pouvez m'aider dans le reste des questions?
3)b) trouver m pour que le triangle OAB soit isocèle et rectangle a O (j'ai trouvé m=1 ou m=-1)
Et la dernière question!
4- soit m=1+i
a) trouver l'application du rotation r de centre O (0) et qui transforme A à B (cette question me semble impossible voilàce que j'ai fait :
b=e^i(beta)×a
<=> 2-i=e^i (beta)×i
<=> -1-2i= e^i (beta) et après calculer
<=> sqrt(5)e^(-i×2,03...)=e^i (beta)
Merci de me corriger si j'ai fait une faute!
b) soit beta l'angle de la rotation, trouvez l'argument de 7+24i en termes de beta
Merci beaucouup je vais jamais oublier votre aide! !!

Dans l'ordre, la 3)a) n'a pas abouti.
Ta réponse pour 1+im n'est pas valable car m est un nombre complexe.
$m=eiαm=e^{i\alpha}$ Mets m sous forme trigonométrique.

$1+mi=1+ieiα=1+i(cosα+isinα)=1+icosα+i2sinα1+mi=1+ie^{i\alpha}=1+i(cos\alpha+isin\alpha)=1+icos\alpha+i^2sin\alpha$
$1+mi=1+icosα−sinα=(1−sinα)+icosα1+mi=1+icos\alpha-sin\alpha=(1-sin\alpha)+icos\alpha$

Tu fais pareil pour 1-mi

Excusez-moi @mtschoon , pour la forme trigonométrique ça doit être sous forma de z= |z|(cos(alpha)+iSin(alpha))
N'est ce pas?

Tout à fait exact.

1+mi est sous forme algébrique.
Il faut transformer, mais vraiment la forme algébrique est simple et je ne trouve pas la forme trigonométrique pertinente...

Sauf erreur (?),
le module vaut $2−2sinα\sqrt{2-2sin\alpha}$
un argument vaut $arctancos⁡α1−sinαarctan\frac{\cos\alpha}{1-sin\alpha}$

Je reste perplexe...

@mtschoon je le pense aussi mais c'est ce qui est demandé dans l'énoncé!
Car la forme trigonométrique semble compliqué et pas pratique!
C'est clair maintenant pour la forme trigonométrique !
Mais la 4ème question me semble compliqué!

@EL

Je suis de plus en plus perplexe sur cet énoncé.
Tu pourrais peut-être t'assurer qu'il est valable...

Vérifie si j'ai bien lu...

Pour la 4) m=1+i
A a pour affixe 1+mi=1+(1+i)i=1+i+i²=1+i-1=i
B a pour affixe 1-mi=1-(1+i)i=1-i-i²=1-i+1=2-i

OA=|i|=1
OB=|2-i|= $22+(−1)2=5\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt 5$

Une rotation est une isométrie (conservation des distances)
Or $1≠51\ne \sqrt 5$

Il n'y a ps de rotation r de centre 0 transformant A en B

Je me pose des questions sur la valeur de cet énoncé ! ! !