Etude de fonction avec arccos



  • ReBonjour,

    Je m'excuse pour avoir mis deux sujets en même temps.
    Du coup je reposte le deuxième sujet

    Considérons la fonction f définie par : f (x) = arcos (1 − 2x²).

    1 Donner l’ensemble de définition Df de f et étudier la parité de f .
    2 Calculer f (32)\dfrac{\sqrt{3}}{2} ) et f (1).
    3 Sur quel intervalle maximal, f est-elle dérivable ? Calculer la dérivée de f sur cet intervalle.
    4 Montrer que, pour tout réel positif de Df, on a f (x) = 2 . arcsin(x).
    En déduire l’allure de la courbe de f sur Df.

    En attente de votre réponse


  • Modérateurs

    Bonjour YB,

    Ce serait bien si tu indiquais tes éléments de réponse.
    Des éléments de réponse à vérifier :

    1. Résoudre 112x21-1 \leq 1-2x^2 \leq 1, on trouve x[1;1]x \in [-1 ; 1]
      Parité calcul de f(x)f(-x) = ... donc
    2. f(32)=π6f(\dfrac{\sqrt3}{2}) = \dfrac{\pi}{6} et f(1)=πf(1)=\pi.
    3. ff est dérivable sur x]1;1[x \in ]-1 ; 1[
      Sa dérivée : f(x)=4x(1(12x2)2f'(x)=\dfrac{-4x}{\sqrt{(1-(1-2x^2)^2}} = ....

  • Modérateurs

    Bonjour YB et Noemi,

    Quelques précisions,

    La réponse précédente 2) est à vérifier

    f(32)=arccos(12(32)2)f(\frac{\sqrt 3}{2})= arccos(1-2(\frac{\sqrt 3}{2})^2)
    donc
    f(32)=arccos(132)=arccos(12)=2π3f(\frac{\sqrt 3}{2})=arccos(1-\frac{3}{2})=arccos(-\frac{1}{2})=\fbox{\frac{2\pi}{3}}

    La réponse précédente 3) est à vérifier

    f n'est pas dérivable pour x=0 car le dénominateur s'annule pour x=0

    f est dérivable pour x]1,0[]0,1[\fbox{x \in ]-1,0[ \cup ]0,1[}

    Attention aussi au signe de f'(x) qui est à revoir.
    Un signe "moins" manque dans la réponse précédente.
    Il y a deux signes "-" qui se neutralisent.

    f(x)=4x(1(12x2)2f'(x)=-\dfrac{-4x}{\sqrt{(1-(1-2x^2)^2}}

    f(x)=4x(1(12x2)2f'(x)=\fbox{\dfrac{4x}{\sqrt{(1-(1-2x^2)^2}}}

    En développant le dénominateur

    f(x)=4x4x24x4=2xx2x4f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2-4x^4}}=\fbox{\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-x^4}}}

    On peut transformer un peu plus, mais en faisant intervenir la valeur absolue ( et en faisant deux cas x>0 et x <0 )

    f(x)=2xx21x2=2xx1x2f'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2}\sqrt{1-x^2}}=\fbox{\dfrac{2x}{|x|\sqrt{1-x^2}}}

    En explicitant et simplifiant

    Pour x>0, f(x)=21x2\fbox{f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}}

    Pour x < 0, f(x)=21x2\fbox{f'(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{1-x^2}}}

    Piste pour la dernière question 4)

    Soit g(x)=2arcsin(x)g(x)=2arcsin(x) pour x > 0

    En utilisant la question précédente et en calculant g'(x) on trouve que g'(x)=f'(x)

    Donc g(x)=f(x)+C (C constante réelle)

    En donnant une valeur simple à x, par exemple 1, on trouver g(1)=f(1) donc C=0 d'où l'égalité cherchée


  • Modérateurs

    Exact mtschoon,

    Réponses un peu rapide de ma part. J'attendais la réaction de YB.


  • Modérateurs

    Effectivement, en allant vite, on peut faire des erreurs.

    Tant que j'y suis, je joins un schéma de la fonction f

    0_1549038643582_aerccos(1-2x²).jpg

    Bon travail YB pour analyser tout ça.
    Reposte si tu as besoin.


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