besoin d' une amorce pour DM



  • bonjour j' ai un DM à rendre pour aprés les vacances et je bloque déjà sur la première question.
    j' aurais besoin d' un amorce pour me permettre de continuer.

    merci d' avance 😉

    DM 1ere partie:

    Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
    On suppose que la fonction dérivée f’est borné sur l’intervalle I c'est-à-dire qu’on suppose l’éxistance de deux nombres réels m et M tels que pour tout x € I, m ≤ f’(x) ≤ M.
    Le but de cette partie est de démontrer que dans ces conditions, pour tout élément a et b de I tels que a < b, m (b - a) ≤ f(b) - f(a)≤M (b - a)

    Partie A :
    1-On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x) = f(x ) - mx.
    a-Démontrer que la fonction g est croissante sur I
    b-En déduire que si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b alors m(b - a) ≤ f(b) -f(a).
    2-On considère la fonction h définie sur l’intervalle I par h(x) = f(x) - Mx
    a- Démontrer que la fonction h est décroissante sur I
    b-En déduire que si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b alors f(b)-f(a)≤M (b - a).

    3Conclure
    4-Enoncer la propriété démontrée.



  • g(x)=f(x)-mx

    supposons g(x) decroissante, soient (x,x1) appartenant à I tel que x1<x , on doit alors avoir dans l'hypothèse ou g est decroissante :
    g(x)< egal g(x1) soit

    f(x)-m.x< egal f(x1)-m.x1
    soit

    f(x)-f(x1)<egal m(x-x1)

    soit

    f(x)-f(x1)/(x-x1)<egal à m

    en passant à la limite ; lim(f(x)-f(x1))/(x-x1) quand x tand vers x1
    =f'(x1)< egal à m avec x1 dans I , comme pour toute valeur de x prise dans I on doit avoir f'(x)< egal à M , on est en presence d'une contradiction donc g est croissante.



  • .... la suite : comme il est etablit que g est croissante sur I , soient de plus a et b appartenant à I tel que b>a on peut ecrire que :

    g(b)>egal à g(a) soit

    f(b)-mb>égal àf(a)-ma

    f(b)-f(a) - m(b-a)>egal à 0

    d'ou f(b)-f(a)> égal à m(b-a) ou m(b-a)<égal à (f(b)-f(a)).



  • ... suite, pour h(x) , tu supposes qu'elle est croissante et tu reprends le model de raisonnment du debut



  • merci flight 😉

    je vais pouvoir me mettre au boulot 😄


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.