dérivée et équation, déterminer les valeurs de a, b, c et d de la fonction


  • G

    bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
    Voici l'énoncé:
    Soit f la fonction définie sur R par f(x)=ax^3+bx²+cx+d ou a, b, c et d sont des réels.
    Soit C la courbe représentative de f dans un repère.
    Déterminer les valeurs de a, b, c et d pour que la courbe C admettent les propriétés suivantes:
    C coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 7
    C passe par le point A(1;-6) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -12
    C admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2

    En cherchant j'ai trouvé que:

    C coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 7 donc f(0)=7

    C passe par le point A(1;-6) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -12 donc que f(1)=-6 et f'(1)=-12

    C admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2 f'(2)=0

    d égal 7 car f(0)= a0^3+b0²+c*0+d égal d donc d vaut 7

    ensuite j'ai effectué les fonction f(1), f'(1) et f'(2) et j'ai trouvé :
    f(1)=a+b+c=-13
    f'(1)=3a+2b+c=-12
    f'(2)=12a+4b+c=0

    Mais après je suis bloqué et ne sais pas quoi faire avec ses équations, peut-être un système mais je ne vois pas comment ! merci d'avance


  • mtschoon

    gencer bonjour,

    Ce que tu as fait est bon.

    Effectivement, tu as à résoudre un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues a, b, c.

    Piste,

    Tu utilises deux équations, par exemple les deux premières
    a+b+c=−13a+b+c=-13a+b+c=13
    3a+2b+c=−123a+2b+c=-123a+2b+c=12

    Tu considères que les inconnues sont a et b
    Tu résous ce système en cherchant a et b en fonction de c (par combinaison par exemple)
    Ensuite, dans la 3ème équation 12a+4b+c=012a+4b+c=012a+4b+c=0, tu remplaces a et b par les expressions trouvées : tu obtiens ainsi une équation d'inconnue c que tu résous.
    Lorsque que tu auras la valeur de c, tu la remplaces dans les expressions de a et b.

    Sauf erreur, tu dois trouver a=2,b=−3,c=−12 ( et d=7)a=2, b=-3, c=-12 \ (\ et\ d=7)a=2,b=3,c=12 ( et d=7)

    donc $\fbox{f(x)=2x^3-3x^2-12x+7}$

    Bons calculs.


  • G

    non enfaite c pas sa pardon c'est c=-12a-4b
    a+b-12a-4b=-13 -11a-5b+=0
    3a+2b-12a-4b=-12 -9a-2b+12=0


  • mtschoon

    Relis ma piste précédente.

    Il faut que tu commences à trouver a et b en fonction de c.

    Par exemple, la première équation peut s'écrire :3a+3b+3c=-39
    La seconde est 3a+2b+c=-12
    En retranchant membre à membre, tu obtiens : b=-2c-27

    Tu appliques la même méthode pour trouver a
    La première équation peut s'écrire :2a+2b+2c=-26
    La seconde est 3a+2b+c=-12
    En retranchant membre à membre, tu obtiens : a=c+14

    Ensuite, tu remplaces dans la 3ème équation pour obtenir c.


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