Calcul de Limites (fonction rationnelle avec paramètre)

Soit la fonction f(x)= $x^3+mx+1)/(x^2+x)$

déterminer Df
calculer lim f(x) en +∞ et -∞
3)discituer en fonction du paramètre m la limite lim f(m) en -1

hafud, bonjour,

Ici , un minimum de politesse et de convivialité s'impose !
Un petit "bonjour","bonsoir", "merci" fait plaisir à ceux qui viennent t'apporter de l'aide.
Pense-y une autre fois.

Il faut préciser ton énoncé.

Tu as écrit f(x)=(x^3+mx+1)/x^2+x

S'agit-il de $f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2}+x$ ou bien
$f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2+x}$

Si tu ne connais pas le Latex, mets suffisamment de parenthèses.

@hafud

Je te démarre ton exercice pour le cas où il s'agirait de
$f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2+x}$

condition d'existence : dénominateur non nul
$x^2+x=0$ <=> $x (x + 1) = 0$ <=> x=0 ou x=-1

Donc Df=R / {-1,0}

Pour trouver la limite en $+∞+\infty$ ou $−∞-\infty$ , tu peux prendre la limite des termes de plus fort degré du numérateur et du dénominateur, seulement si c'est vu dans ton cours, ce qui n'est pas sûr.

Sinon, tu mets x² en facteur au numérateur et au dénominateur puis tu simplifies par x²
Tu prends la limite de la fonction ainsi transformée.
Tu dois trouver
$lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
$lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

Indique si il s'agit bien de la "bonne" fonction et tiens nous au courant de l'avancée de ton exercice.

@mtschoon oui c'est la bonne fonction et pour la troisième question svp

Piste pour la 3ème question,

Tu peut éventuellement, pour y voir plus clair, mettre x en facteur et simplifier par x
Pour x $≠0\ne 0$ $f(x)=x2+m+1/xx+1f(x)=\dfrac{x^2+m+1/x}{x+1}$

Lorsque x tend vers -1, le numérateur tend vers m et le dénominateur tend vers 0

Tu as donc deux cas à étudier : $m = 0$ et $m≠0m\ne 0$

1er cas m=0
Il y a une indétermination de la forme "0/0"

$f(x)=x3+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+x}$

Mets (x-1) en facteur au numérateur et au dénominateur, simplifie par (x-1) et cherche la limite de l'expression ainsi simplifiée.
$f(x)=(x+1)(x2−x+1)(x+1)xf(x)=\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)x}$

Sauf erreur, tu dois trouver -3 comme limite

2ème cas : $m≠0m\ne 0$

Pour x $≠0\ne 0$ $f(x)=x2+m+1/xx+1f(x)=\dfrac{x^2+m+1/x}{x+1}$

Vu que le numérateur tend vers m non nul et le dénominateur tend vers 0, tu obtiendras $+∞+\infty$ ou $−∞-\infty$ suivant les signes de m et de x+1
Vois les deux possibilités : m > 0 et m < 0

@mtschoon merci pour votre aide

@mtschoon pour la dernière étape j'ai pas bien compris

Je te détaille le cas m > 0
Lorsque x tend vers -1 :
$x2+m+1xx^2+m+\dfrac{1}{x}$ tend vers m qui est strictement positif
$x + 1$ tend vers 0

Il faut encore détailler :

Si x+1 >0, x+1 tend vers $0^+$
donc f(x) tend vers $+∞+\infty$
$lim⁡x→1+f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$ (limite à droite)

Si x+1 <0, x+1 tend vers $0^-$
donc f(x) tend vers $−∞-\infty$
$lim⁡x→1−f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$ (limite à gauche)

Lorsque tu as compris cela, tu étudies le cas m < 0

Bon travail.

@mtschoon je sais pas comment faire pour m
m<0

Tu raisonnes de la même façon.
Il s'agit, dans chaque cas, de la règle des signes d'un quotient.

Pour m < 0
Lorsque x tend vers -1 :
le numérateur tend vers m qui est strictement négatif
le dénominateur tend vers 0

Il faut encore détailler :

Si x+1 > 0, x+1 tend vers $0^+$ , donc x tend vers $1^+$
donc f(x) tend vers $−∞-\infty$ c'est la limite à droite

Si x+1 < 0, x+1 tend vers $0^-$ , donc x tend vers $1^-$
donc f(x) tend vers $+∞+\infty$ c'est la limite à gauche.

@mtschoon merci

De rien hafud !

Pour être sûr que tu maîtrises bien, je te conseille de refaire l'exercice seul.
Bon travail !