Derivée d'une Fonction exponentielle + logarithme


  • TheoRiz 20

    Bonjour,
    Je bloque sur une dérivée et j'aimerai avoir de l'aide car sans cette dérivée je ne peux pas continuer mon exercice.

    Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + infinie [ par f(x)=1/ex−1/e2+ln(x−1)f(x)=1/e^x - 1/e^2 + ln(x-1)f(x)=1/ex1/e2+ln(x1)
    On note f′f'f la fonction dérivée de la fonction fff. Calculer f′(x)f'(x)f(x).

    Merci d'avance de votre aide.


  • mtschoon

    TheoRiz 20 , bonjour,

    Est-ce bien f(x)=1ex−1e2+ln(x−1)f(x)=\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1}{e^2}+ln(x-1)f(x)=ex1e21+ln(x1) ?

    Si c'est cela :

    1e2\dfrac{1}{e^2}e21 est une constante. La dérivée vaut 0

    1ex=e−x\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}ex1=ex La dérivée est e−x(−1)=−e−xe^{-x}(-1)=-e^{-x}ex(1)=ex

    La dérivée de ln(x−1)ln(x-1)ln(x1) est 1x−1\dfrac{1}{x-1}x11 (pour x > 1)

    Donc f′(x)=−e−x+1x−1=−1ex+1x−1f'(x)=-e^{-x}+\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{x-1}f(x)=ex+x11=ex1+x11

    Reposte si ce n'est pas la bonne fonction.


  • TheoRiz 20

    @mtschoon
    C'est bien la bonne équation ! Merci.

    Désolé de vous redemander de l'aide mais je suis totalement perdu dans mon exercice...

    Maintenant je dois montrer que f′(x)=g(x)/x−1f'(x)= g(x) / x -1 f(x)=g(x)/x1
    g(x)=1−(x−1/ex)g(x)= 1 -( x-1 / e^x)g(x)=1(x1/ex) ( j'ai rajouté les parenthèses pour que vous puissiez mieux comprendre et g(x)g(x)g(x) est donné plus tôt dans l'exercice ).
    Je ne vois pas du tout comment faire pour montrer que f′(x)=g(x)/xf'(x)= g(x) / xf(x)=g(x)/x


  • mtschoon

    @TheoRiz-20
    Ta question n'est pas claire car tu écris des choses contradictoires ou écrites confusément...

    S'agit-il de
    f′(x)=g(x)x−1f'(x)=\dfrac{g(x)}{x-1}f(x)=x1g(x)
    ou bien
    f′(x)=g(x)x−1f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}-1f(x)=xg(x)1

    ou bien f′(x)=g(x)xf'(x)=\dfrac{g(x)}{x}f(x)=xg(x)

    Merci de préciser.


  • mtschoon

    @TheoRiz-20 Je choisis la formule qui semble convenir. Vérifie si c'est bien la bonne.

    g(x)=1−x−1ex=ex−(x−1)exg(x)=1-\dfrac{x-1}{e^x}=\dfrac{e^x-(x-1)}{e^x}g(x)=1exx1=exex(x1)

    g(x)x−1=ex−(x−1)ex(x−1)\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{e^x-(x-1)}{e^x(x-1)}x1g(x)=ex(x1)ex(x1)

    En décomposant en deux fractions :

    g(x)x−1=exex(x−1)−x−1(x−1)ex\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{e^x}{e^x(x-1)}-\dfrac{x-1}{(x-1)e^x}x1g(x)=ex(x1)ex(x1)exx1

    En simplifiant chacune des deux fractions:

    g(x)x−1=1x−1−1ex\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{e^x}x1g(x)=x11ex1

    En comparant avec l'expression trouvée pour f'(x)

    $\fbox{\dfrac{g(x)}{x-1}=f'(x)}$


  • TheoRiz 20

    @mtschoon Je viens de me rendre compte que j'avais fais des erreurs dans mon message mais vous avez trouvé la bonne formule.
    Je dois calculer f(2)f(2)f(2) ce qui donne 000 . Ensuite on me demande de détermine l'équation de tangente TTT à la courbe au point d'abscisse 222.
    Pourriez vous m’éclairer sur comment l'on doit procéder pour trouver cette équation ?


  • mtschoon

    @TheoRiz-20

    Pour trouver l'équation de (T) tu dois avoir la formule dans ton cours.

    L'équation de (T) est ; y=f′(2)(x−2)+f(2)y=f'(2)(x-2)+f(2)y=f(2)(x2)+f(2)

    Tu calcule donc f(2) et f'(2) et tu remplaces dans cette équation.


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