Derivée d'une Fonction exponentielle + logarithme
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TheoRiz 20 dernière édition par
Bonjour,
Je bloque sur une dérivée et j'aimerai avoir de l'aide car sans cette dérivée je ne peux pas continuer mon exercice.Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + infinie [ par f(x)=1/ex−1/e2+ln(x−1)f(x)=1/e^x - 1/e^2 + ln(x-1)f(x)=1/ex−1/e2+ln(x−1)
On note f′f'f′ la fonction dérivée de la fonction fff. Calculer f′(x)f'(x)f′(x).Merci d'avance de votre aide.
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mtschoon dernière édition par
TheoRiz 20 , bonjour,
Est-ce bien f(x)=1ex−1e2+ln(x−1)f(x)=\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1}{e^2}+ln(x-1)f(x)=ex1−e21+ln(x−1) ?
Si c'est cela :
1e2\dfrac{1}{e^2}e21 est une constante. La dérivée vaut 0
1ex=e−x\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}ex1=e−x La dérivée est e−x(−1)=−e−xe^{-x}(-1)=-e^{-x}e−x(−1)=−e−x
La dérivée de ln(x−1)ln(x-1)ln(x−1) est 1x−1\dfrac{1}{x-1}x−11 (pour x > 1)
Donc f′(x)=−e−x+1x−1=−1ex+1x−1f'(x)=-e^{-x}+\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{x-1}f′(x)=−e−x+x−11=−ex1+x−11
Reposte si ce n'est pas la bonne fonction.
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TheoRiz 20 dernière édition par TheoRiz 20
@mtschoon
C'est bien la bonne équation ! Merci.Désolé de vous redemander de l'aide mais je suis totalement perdu dans mon exercice...
Maintenant je dois montrer que f′(x)=g(x)/x−1f'(x)= g(x) / x -1 f′(x)=g(x)/x−1
g(x)=1−(x−1/ex)g(x)= 1 -( x-1 / e^x)g(x)=1−(x−1/ex) ( j'ai rajouté les parenthèses pour que vous puissiez mieux comprendre et g(x)g(x)g(x) est donné plus tôt dans l'exercice ).
Je ne vois pas du tout comment faire pour montrer que f′(x)=g(x)/xf'(x)= g(x) / xf′(x)=g(x)/x
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@TheoRiz-20
Ta question n'est pas claire car tu écris des choses contradictoires ou écrites confusément...S'agit-il de
f′(x)=g(x)x−1f'(x)=\dfrac{g(x)}{x-1}f′(x)=x−1g(x)
ou bien
f′(x)=g(x)x−1f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}-1f′(x)=xg(x)−1ou bien f′(x)=g(x)xf'(x)=\dfrac{g(x)}{x}f′(x)=xg(x)
Merci de préciser.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@TheoRiz-20 Je choisis la formule qui semble convenir. Vérifie si c'est bien la bonne.
g(x)=1−x−1ex=ex−(x−1)exg(x)=1-\dfrac{x-1}{e^x}=\dfrac{e^x-(x-1)}{e^x}g(x)=1−exx−1=exex−(x−1)
g(x)x−1=ex−(x−1)ex(x−1)\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{e^x-(x-1)}{e^x(x-1)}x−1g(x)=ex(x−1)ex−(x−1)
En décomposant en deux fractions :
g(x)x−1=exex(x−1)−x−1(x−1)ex\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{e^x}{e^x(x-1)}-\dfrac{x-1}{(x-1)e^x}x−1g(x)=ex(x−1)ex−(x−1)exx−1
En simplifiant chacune des deux fractions:
g(x)x−1=1x−1−1ex\dfrac{g(x)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{e^x}x−1g(x)=x−11−ex1
En comparant avec l'expression trouvée pour f'(x)
$\fbox{\dfrac{g(x)}{x-1}=f'(x)}$
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TheoRiz 20 dernière édition par
@mtschoon Je viens de me rendre compte que j'avais fais des erreurs dans mon message mais vous avez trouvé la bonne formule.
Je dois calculer f(2)f(2)f(2) ce qui donne 000 . Ensuite on me demande de détermine l'équation de tangente TTT à la courbe au point d'abscisse 222.
Pourriez vous m’éclairer sur comment l'on doit procéder pour trouver cette équation ?
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mtschoon dernière édition par
Pour trouver l'équation de (T) tu dois avoir la formule dans ton cours.
L'équation de (T) est ; y=f′(2)(x−2)+f(2)y=f'(2)(x-2)+f(2)y=f′(2)(x−2)+f(2)
Tu calcule donc f(2) et f'(2) et tu remplaces dans cette équation.