Exercice DM DÉRIVABILITÉ (avec fonction racine carrée)

[hafud]

Bonjour pouvez-vous m'aider à cette exercice il est difficile
Soit $f$ dérivable en $2$ et tel que $f(2)=-2$ et $f^{\prime }(2)=1$
Calculer
$lim$($2$√$(4x+1)$+$3f(x))$/$(x-2)$ en $2$
2)soit $f$ dérivable en $0$ tel que $f^{\prime }(0)=a$
Calculer en fonction de $a$ la limite
$lim(f(2x)-f(3x))/x$ en $0$

[mtschoon]

hafud, bonjour,

C'est l'utilisation de la définition du nombre dérivé qui est utilisée.

Piste pour démarrer,

Il faut transformer l'expression donnée.

Soit $g(x)=2\sqrt{4x+1}$
donc $g(2)=6$

$\frac{2\sqrt{4x+1}+3f(x)}{x-2}=\frac{2\sqrt{4x+1}-6+3f(x)+6}{x-2}$

$\frac{2\sqrt{4x+1}+3f(x)}{x-2}=\frac{2\sqrt{4x+1}-6+3(f(x)-(-2))}{x-2}$

$\frac{2\sqrt{4x+1}+3f(x)}{x-2}=\frac{g(x)-g(2)}{x-2}+3\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

Tu continues ( en utilisant la définition du nombre dérivé en 2

[hafud]

@mtschoon merci mais c'est 2 qui m'oppose une problème

[mtschoon]

@hafud

Rappel:

Par définition (regarde ton cours)

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$

Idem pour g

[hafud]

@mtschoon comment

[mtschoon]

Regarde l'énoncé.

$f^{\prime }(2)=1$

Donc $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1$

Tu continues avec g

[hafud]

@mtschoon j'ai pas compris comment

[mtschoon]

@hafud
Je te conseille de ne pas faire 3 exercices en même temps.

Pour le "comment", relis ton cours sur la dérivabilité et ma précédente réponse.

[hafud]

@mtschoon on le remplacer dans la première par 1 mais est-ce que g'(2)=0

[mtschoon]

Non. g'(2) ne vaut pas 0.

Calcules g'(x) avec les formules de dérivées usuelles de ton cours.

Eventuellement, pour vérification, tu peux nous donner l'expression que tu as trouvée pour g'(x).

Ensuite, tu remplaces x par 2 pour obtenir g'(2)

[hafud]

@mtschoon j'ai trouvé dans g'(x)=2 / $\sqrt{4x+1)}$

[mtschoon]

Il faut que tu revois la formule de la dérivée
Il s'agit de la dérivée d'une fonction composée.
U étant une fonction de x :
$(\sqrt{U(x)}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{U(x)}}\times U^{\prime }(x)$

$U(x)=4x+1$ donc $U(x)=4$

Tu dois trouver $g^{\prime }(x)=\frac{4}{\sqrt{4x+1}}$

Puis $g^{\prime }(2)=\frac{4}{3}$

[hafud]

@mtschoon moi j'ai utilisé U'(x)×V'(x)

[mtschoon]

@hafud

Explique toi mieux car j'gnore qui est V'(x) ( ni V(x) )

[hafud]

@mtschoon attendez je refaire avec ta méthode

[mtschoon]

D'accord

[hafud]

@mtschoon oui c'est la même j'ai fais quelques fautes
Et pour l'autre question

[mtschoon]

Pour la question 2) c'est le même principe

Tu transformes judicieusement l'expression pour pouvoir faire apparaître, en prenant la limite (en 0), la valeur f'(0)=a

$\frac{f(2x)-f(3x)}{x}=\frac{f(2x)-f(0)}{x-0}-\frac{f(3x)-f(0)}{x-0}$

Essaie de trouver la limite en 0

[hafud]

@mtschoon a dit dans Exercice DM DÉRIVABILITÉ (avec fonction racine carrée) :

Pour la question 2) c'est le même principe

Tu transformes judicieusement l'expression pour pouvoir faire apparaître, en prenant la limite (en 0), la valeur f'(0)=a

$\frac{f(2x)-f(3x)}{x}=\frac{f(2x)-f(0)}{x-0}-\frac{f(3x)-f(0)}{x-0}$

Essaie de trouver la limite en 0
Est ce que comme ça
$\frac{f(2x)-f(0)}{x-0}=a$

[mtschoon]

Pas tout à fait , à cause du "2" ...,

Pour étudier $\frac{f(2x)-f(0)}{x-0}$, tu peux faire le changement de variable X=2x c'est à dire $x=\frac{X}{2}$

Lorsque x tend vers 0, X tend vers 0 (et réciproquement)

$\frac{f(2x)-f(0)}{x-0}=2\frac{f(X)-f(0)}{X-0}$

La limite en 0 est donc $2f^{\prime }(0)=2a$

Même idée pour l'autre expression.

[hafud]

@mtschoon j'avais trouvé 3f'(0)=3a
Et a la fin la limite en 0 de f(2x)-f(3x)/x est 2a-3a=-a est ce juste

[mtschoon]

C'est bon .

Un conseil : revois avec soin le procédé qui a permis de faire apparaître les nombres dérivés.

[hafud]

@mtschoon merci pour votre aidée

[mtschoon]

De rien hafud !
Une remarque tout de même.
Hier soir tu as posté deux nouveaux exercices alors que les précédents ne sont pas terminés ...
Alors un conseil : arrête de poster de nouveaux énoncés et commence par bien assimiler les exercices qui sont encore en "chantier".
Bon travail.