Exercice probabilité



  • Bonjour,
    J'ai quelques soucis pour réaliser mon exercice.

    Je dois prouvez que, ∀A,B événements de Ω, avec B qui n'est pas un événement impossible, on a P(B|A) ∈ [0,1]

    Merci d'avance pour vos réponses.



  • Lioka, bonsoir

    Toute probabilité est comprise, au sens large, entre 0 et 1 donc en particulier la probabilité dont tu parles.

    Je te donne une explication dans le cas de p(B/A)

    Je suppose qu'il s'agit d'équiprobabilité.

    J'appelle cardinal ( card en abrégé) le nombre d'éléments de chaque partie

    p(B/A)=card(B∩A)card(A)p(B/A)=\dfrac{card(B\cap A)}{card(A)}p(B/A)=card(A)card(BA)

    B∩AB\cap ABA est une partie de A (qui peut être vide ou être égale à B) , donc

    0≤card(B∩A)≤card(A)0\le card(B \cap A) \le card (A)0card(BA)card(A)

    En divisant par card(A) qui est non nul

    0card(A)≤cardB∩A)card(A)≤card(A)card(A)\dfrac{0}{card(A)} \le \dfrac{cardB \cap A)}{card(A)}\le \dfrac{card(A)}{card(A)}card(A)0card(A)cardBA)card(A)card(A)

    D'où

    0≤p(B/A)≤10\le p(B/A)\le 10p(B/A)1

    Tu tires la conclusion souhaitée

    Autre explication si tu préfères en utilisant les propriétés des probabilités

    P(B/A)=p(B∩A)p(A)P(B/A)=\dfrac{p(B\cap A)}{p(A)}P(B/A)=p(A)p(BA)

    B∩AB\cap ABA est une partie de A, donc

    0≤p(B∩A)≤p(A)0 \le p(B\cap A)\le p(A)0p(BA)p(A)

    Comme dans la version précédente, tu divises par p(A) et tu obtiens le résultat souhaité.


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