Equation de polynôme



  • bonjour

    donner moi svp l'idée pour résoudre l'équation suivante :

    P(X + 1) − P(X) = X

    bonne journée


  • Modérateurs

    Bonjour Alpha,

    Il n'y a pas d'indication sur le degré du polynôme ?
    Si on suppose un polynôme de degré 2,
    Tu poses P(X)=ax2+bx+cP(X) = a x^2+bx+c
    Tu écris P(x+1)P(x)=xP(x+1)-P(x)= x et tu détermines la valeur des coefficients a, b et c.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Ou alors, juste un iota plus difficile, faut-il débuter par montrer que le polynôme est obligatoirement de degré 2.

    Autrement dit : Quel est l'énoncé exact et complet du problème posé ?



  • Merci pour vos réponse.

    C'était l'énoncé complet du problème, j'ai tout écrit.
    Alors, je dois tout d'abord montrer qu'il est de degré 2 au plus ?

    Bonne journée


  • Modérateurs

    Bonsoir tout le monde,

    @Alpha

    Effectivement, tu peux prouver que le polynôme doit être de degré 2 au plus

    Idée ( à expliciter davantage)

    P(X)=anXn+an1Xn1+...+a0P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_0
    P(X+1)=an(X+1)n+an1(X+1)n1+...+a0P(X+1)=a_n(X+1)^n+a_{n-1}(X+1)^{n-1}+...+a_0

    En retranchant
    P(X+1)P(X)=an[(X+1)nXn]+..............P(X+1)-P(X)=a_n[(X+1)^n-X^n]+..............

    En développant [(X+1)nXn][(X+1)^n-X^n] , les XnX^n se simplifient, donc P(X+1)P(X)P(X+1)-P(X) est un polynôme de degré (n-1) au plus.

    La membre de droite est de degré 1

    L'égalité permet de conclure que, au plus, n-1=1 , c'est à dire au plus n=2 . c'est à dire n2n\le 2



  • Merci beaucoups

    Maintenant, la tâche est simple 👍🏻

    Merci pour vous

    Bonne journée


  • Modérateurs

    C'est très bien Alpha, si ton exercice est maintenant débloqué.



  • merci pour votre aide et votre gentillesse


  • Modérateurs

    De rien ☺


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