ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
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bonjour
donner moi svp quelques idées pour résoudre cet exercice
et merci d'avance
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Sans aucune garantie sur ma réponse. (Attendre confirmation ou infirmation par de vrais matheux).
Si on pose x = y , on arrive à f(x²+x) = f(x) + f(x²)
Puis en posant x² = z, on a : f(x+z) = f(x) + f(z) (avec f(0) = 0)
C'est, si mes souvenirs sont bons, l'équation fonctionnelle de Cauchy ... pour laquelle il y a moult études qui ont été faites.
Il y a toutes les fonctions linéaires qui conviennent (et d'autres ?).
Méfiance répétée sur ce que j'ai écrit.
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@laslas bonjour et @Black-Jack bonjour,
Ce n'est pas une "vraie matheuse" qui est là, ce serait vraiment très prétentieux !
L'équation de Cauchy est tentante, mais le changement de variable z=x² me semble génant car il impose z≥0z\ge 0z≥0 alors que pour l'équation de Cauchy, z doit prendre toute valeur réelle.
Je dirais que cette équation ressemble à une équation de Cauchy.Quelques pistes de calculs qui amènent à f fonction identiquement nulle (à vérifier et à détailler, bien sûr)
Pour tout xxx réel et y=0y=0y=0 : f(x)=f(x2)f(x)=f(x^2)f(x)=f(x2)
On peut donc prouver en généralisant
f(x)=f(x2)=f(x4)f(x)=f(x^2)=f(x^4)f(x)=f(x2)=f(x4)Pour tout xxx réel et y=−x2y=-x^2y=−x2:
f(x2−x2)=f(x)+f(x4)f(x^2-x^2)=f(x)+f(x^4)f(x2−x2)=f(x)+f(x4) c'est à dire 0=f(x)+f(x4)0=f(x)+f(x^4)0=f(x)+f(x4)
donc f(x4)=−f(x)f(x^4)=-f(x)f(x4)=−f(x)Conséquence :
Pour tout xxx réel
f(x)=−f(x)f(x)=-f(x)f(x)=−f(x) c'est à dire 2f(x)=02f(x)=02f(x)=0 c'est à dire f(x)=0f(x)=0f(x)=0Donc f est la fonction nulle
Il reste à faire la réciproque, c'est à dire vérifier que le fonction nulle satisfait l'équation fonctionnelle.
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@mtschoon merci infiniment !!
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De rien laslas et bon travail !