ÉQUATIONS FONCTIONNELLES


  • laslas

    bonjour

    donner moi svp quelques idées pour résoudre cet exercice
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    et merci d'avance


  • B

    Bonjour,

    Sans aucune garantie sur ma réponse. (Attendre confirmation ou infirmation par de vrais matheux).

    Si on pose x = y , on arrive à f(x²+x) = f(x) + f(x²)

    Puis en posant x² = z, on a : f(x+z) = f(x) + f(z) (avec f(0) = 0)

    C'est, si mes souvenirs sont bons, l'équation fonctionnelle de Cauchy ... pour laquelle il y a moult études qui ont été faites.

    Il y a toutes les fonctions linéaires qui conviennent (et d'autres ?).

    Méfiance répétée sur ce que j'ai écrit.


  • mtschoon

    @laslas bonjour et @Black-Jack bonjour,

    Ce n'est pas une "vraie matheuse" qui est là, ce serait vraiment très prétentieux !

    L'équation de Cauchy est tentante, mais le changement de variable z=x² me semble génant car il impose z≥0z\ge 0z0 alors que pour l'équation de Cauchy, z doit prendre toute valeur réelle.
    Je dirais que cette équation ressemble à une équation de Cauchy.

    @laslas

    Quelques pistes de calculs qui amènent à f fonction identiquement nulle (à vérifier et à détailler, bien sûr)

    Pour tout xxx réel et y=0y=0y=0 : f(x)=f(x2)f(x)=f(x^2)f(x)=f(x2)
    On peut donc prouver en généralisant
    f(x)=f(x2)=f(x4)f(x)=f(x^2)=f(x^4)f(x)=f(x2)=f(x4)

    Pour tout xxx réel et y=−x2y=-x^2y=x2:
    f(x2−x2)=f(x)+f(x4)f(x^2-x^2)=f(x)+f(x^4)f(x2x2)=f(x)+f(x4) c'est à dire 0=f(x)+f(x4)0=f(x)+f(x^4)0=f(x)+f(x4)
    donc f(x4)=−f(x)f(x^4)=-f(x)f(x4)=f(x)

    Conséquence :
    Pour tout xxx réel
    f(x)=−f(x)f(x)=-f(x)f(x)=f(x) c'est à dire 2f(x)=02f(x)=02f(x)=0 c'est à dire f(x)=0f(x)=0f(x)=0

    Donc f est la fonction nulle

    Il reste à faire la réciproque, c'est à dire vérifier que le fonction nulle satisfait l'équation fonctionnelle.


  • laslas

    @mtschoon merci infiniment !!


  • mtschoon

    De rien laslas et bon travail !


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