ÉQUATIONS FONCTIONNELLES

[laslas]

bonjour

donner moi svp quelques idées pour résoudre cet exercice

et merci d'avance

[Black-Jack]

Bonjour,

Sans aucune garantie sur ma réponse. (Attendre confirmation ou infirmation par de vrais matheux).

Si on pose x = y , on arrive à f(x²+x) = f(x) + f(x²)

Puis en posant x² = z, on a : f(x+z) = f(x) + f(z) (avec f(0) = 0)

C'est, si mes souvenirs sont bons, l'équation fonctionnelle de Cauchy ... pour laquelle il y a moult études qui ont été faites.

Il y a toutes les fonctions linéaires qui conviennent (et d'autres ?).

Méfiance répétée sur ce que j'ai écrit.

[mtschoon]

@laslas bonjour et @Black-Jack bonjour,

Ce n'est pas une "vraie matheuse" qui est là, ce serait vraiment très prétentieux !

L'équation de Cauchy est tentante, mais le changement de variable z=x² me semble génant car il impose $z\ge 0$ alors que pour l'équation de Cauchy, z doit prendre toute valeur réelle.
Je dirais que cette équation ressemble à une équation de Cauchy.

@laslas

Quelques pistes de calculs qui amènent à f fonction identiquement nulle (à vérifier et à détailler, bien sûr)

Pour tout $x$ réel et $y=0$ : $f(x)=f(x^2)$
On peut donc prouver en généralisant
$f(x)=f(x^2)=f(x^4)$

Pour tout $x$ réel et $y=-x^2$:
$f(x^2-x^2)=f(x)+f(x^4)$ c'est à dire $0=f(x)+f(x^4)$
donc $f(x^4)=-f(x)$

Conséquence :
Pour tout $x$ réel
$f(x)=-f(x)$ c'est à dire $2f(x)=0$ c'est à dire $f(x)=0$

Donc f est la fonction nulle

Il reste à faire la réciproque, c'est à dire vérifier que le fonction nulle satisfait l'équation fonctionnelle.

[laslas]

@mtschoon merci infiniment !!

[mtschoon]

De rien laslas et bon travail !