Une idée de partage.

[Bernard-Francis]

Bonjour,

Les maths c'est de l'histoire ancienne.
Pourtant je ne répugne pas à faire appel à elles quand l'occasion se présente.
Mais j'ai oublié comment on écrit en langage mathématique les problèmes à résoudre et leurs solutions.

Voilà un exemple:

Deux individus, A et B décident de vivre ensemble dans la même demeure.
Ils décident que tous les bénéfices tirés de la location du bien resté libre (le bien de A) seraient partagés pour moitié.
En fin de compte, A obtiendra les deux tiers des loyers et B le tiers restant.

Je suis arrivé au résultat par tâtonnements.
Je voudrais apprendre comment écrire le raisonnement ainsi que les formules menant à la réponse en langage mathématique.

Posons que le loyer est de X
J'ai trouvé que: A empochera X-X/2+X/4-X/8+X/16-X/32+ ... soit A= 2/3 de X
B empochera X/2-X/4+X/8-X/16+X/32- ... soit B= 1/3 de X

Essayons: A=${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{X}{2^i}$ ??? Mai comment créer l' alternance des + et des - ???

Merci de me mettre sur des pistes, j'ai envie d'apprendre.

B-F

[Noemi]

Bonjour, Bernard-Francis

Tu peux décomposer pour A le calcul en deux l'un positif et l'autre négatif
Pour le premier $X+X/4+X/16+.....=X(1+1/4+1/16+....)$ et
le deuxième $-(X/2+X/8+X/32+.....)=-X(.......)$

Idem pour B.

[Bernard-Francis]

@Noemi

Bonsoir,

Merci pour la piste.
Donc la réponse s'écrit:

A = ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{X}{2^{2i}}$ - ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i-1}}$
B = ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i-1}}$ - ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i}}$

J'ai trouvé que A=$\frac{2X}{3}$ et que B=$\frac{X}{3}$

Je souhaite pouvoir passer de la notation mathématique au calcul lui-même menant aux solutions.
A = ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{X}{2^{2i}}$ - ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i-1}}$= $\frac{2X}{3}$
B = ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i-1}}$ - ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{X}{2^{2i}}$ = $\frac{X}{3}$

Comment ça marche?
Une piste?

BF

[Noemi]

Bonjour Bernard-Francis,

Pour le calcul, le plus simple est d'utiliser la somme des termes d'une suite géométrique.

[mtschoon]

Bonjour @Bernard-Francis et bonjour @Noemi

@Bernard-Francis

Un petit plus,

Si tu as oublié les suites (dont les suites géométriques) tu peux consulter ici :
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

Je regarde A

Tu peux mettre X en facteur et faire les calculs sans X, ce qui est plus simple.

Comme te l'indique Noemi, tu peux décomposer le calcul pour avoir deux sommes géométriques à termes positifs, puis faire la différence.

Tu peux aussi faire le calcul en un seul bloc (en jouant sur la parité )

Je t'indique un calcul de A en un seul bloc

Soit $U_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+...-...$

$U_n=(\frac{-1}{2}{)}^0+(\frac{-1}{2}{)}^1+(\frac{-1}{2}{)}^2+(\frac{-1}{2}{)}^3+....+(\frac{-1}{2}{)}^n$

De façon rigoureuse :
$\fbox{\displaystyle U_n=\sum_{i=0}^{i=n}\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggl)^i}$
$U_n$ est la somme des (n+1) premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $q=\left(\frac{-1}{2}\right)$

$U_n=1\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-(\frac{-1}{2}{)}^{n+1}}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)}$

$\fbox{U_n=\dfrac{2}{3} \times \biggl[1-\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggl)^{n+1}\biggl]}$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{-1}{2}{)}^{n+1}=0$

Donc $\fbox{\displaystyle \lim_{n\to \infty}U_n=\frac{2}{3}}$

Tu peux écrire

$\fbox{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggl)^{i}=\dfrac{2}{3}}$

Conclusion : $\fbox{A=X\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggl)^{i}=\dfrac{2}{3}X}$

Lorsque tu auras compris le A, tu dois pouvoir faire le B sans difficultés.