Arithmétique dans Z exercice 1 (PGCD)

[hafud]

Bonjour pouvez vous m'aider à cette exercice
1)soit k dans Z et a=2k-1,b=9k+4
a-montrer que $a\wedge b=a\wedge 17$
b-determiner les nombres k pour que $a\wedge b=17$

2)soit m,n de N et x=3m+4n, y=2m+3n on pose $d=x\wedge y$
a-montrer que si a|n et a|m alors a|x et a|y
b-étudier le contraire
c-que peut on déduire
3)soit n de N
a- vérifier que(n+3)|[ (3n^3)-11n+48 ]
b-montrer que pour toute n de N, $3n^2-9n+16$ appartient à N*
c-montrer que pour toute (a,b,c) de N* $a\wedge b=(bc-a)\wedge b$
d-déduire que $(3n^3-11n)\wedge (n+3)=(n+3)\wedge 48$
e-déterminer l'ensemble A={n de N* / $(3n^3-11n)|(n+3)$ appartient à N}

[mtschoon]

@hafud , bonjour

Les trois questions posées sont totalement indépendantes.
Si tu n'as aucune idée pour les traiter, je t'indique quelques pistes éventuelles, qui peuvent t'aider à trouver les solutions.

1. Soit $d=a\wedge b=PGCD(a,b)$

$\{\begin{array}{l}d|(2k-1)\\ d|(9k+4)\end{array}$
donc
$d|[2(2k+4)-9(2k-1)]$ c'est à dire $d|17$

Pour déterminer k tel que $a\wedge b=17$ :
$\{\begin{array}{l}9k+4=17q\\ 2k-1=17q^{\prime }\end{array}$
donc
9k+4-4(2k-1)=17(q-4q’) <=>k+8=17(q-4q’)
donc
$k+8\cong 0[17]$ <=> $k\cong -8[17]$ <=>$\fbox{ k\cong 9\ [17]}$

Pour l’exercice 2, tu dois pouvoir répondre en utilisant la propriété usuelle du type :
$\{\begin{array}{l}c|a\\ c|b\end{array}$=> $c|(aU+bV)$ (combinaison linéaire entière de a et b)

Pour la 3), tu peux consulter éventuellement ici :
https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/05_revisions/05_seance04_06_2013_spe_correction_exo3.pdf

Bon travail.