Convergence d'une série

Bonjour

Merci de m'aider à étudier la convergence de la série de terme général : Un = n^(1/n) - (n+1)^(1/n).

Merci d'avance
Et désolé car je n'ai pas utilisé Latex

Bonne journée

Bonsoir Alpha,

Utilise la relation $a^x=e^{xlna}$
soit $n1n=elnnnn^{\frac{1}{n}}= e^{\frac{ln n}{n}}$

@Alpha , @Noemi, bonjour

@Alpha

Peut-être une piste possible si tu n'as pas d'autre idée.
Utiliser le théorème de comparaison des séries à termes de signe constant à partir d’un certain rang.

Etude de la série de terme général
$Vn=n1n−(n+1)1n+1V_n=n^{\frac{1}{n}}-(n+1)^{\frac{1}{n+1}}$

$Sn=∑k=1k=nVk=∑k=1k=n(k1k−(k+1)1k+1)\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{k=n}V_k=\sum_{k=1}^{k=n}\biggl(k^{\frac{1}{k}}-(k+1)^{\frac{1}{k+1}}\biggl)$

IL s'agit d'une somme télescopique, et tu dois trouver après explicitation et simplification
$Sn=1−(n+1)1n+1=1−eln(n+1)n+1S_n=1-(n+1)^{\frac{1}{n+1}}=1-e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}$

Tu prouves que $lim⁡n→+∞Sn=1−1=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}S_n=1-1=0$
Donc la série de terme générale $V_n$ est convergente (vers 0)

Tu peux tenter une comparaison entre séries.
Regarde les signes $U_n$ et $V_n$ sont positifs à partir d'un certain rang et, à partir d'un certain rang, $−Un≤Vn-U_n\le V_n$ au tableur, donc il reste à le prouver).
Je n'ai pas creusé plus.

Bon travail !

@mtschoon
merci beaucoup

d'accord, je vais essayer de prouver l'inegalité à partir d'un certain rang.

@Alpha
Si besoin, pour la comparaison de deux séries, je te mets un lien http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_09.html
Vois ce qui est le plus adapté.

Bon travail.

Bonjour

Merci.
Une idée SVP pour prouver qu'on −Un ≤ Vn à partir d'un certain rang

Bonne journée

@Alpha ,

Je n'ai pas cherché de démonstration , mais au tableur, je peux t'indiquer que l'inégalité proposée est valable pour $n≥8n\ge 8$
Bon courage !
Attends d'autres avis.

D'accord.
Merci beaucoups

Bon travail @Alpha .