Convergence d'une série



  • Bonjour

    Merci de m'aider à étudier la convergence de la série de terme général : Un = n^(1/n) - (n+1)^(1/n).

    Merci d'avance
    Et désolé car je n'ai pas utilisé Latex

    Bonne journée


  • Modérateurs

    Bonsoir Alpha,

    Utilise la relation ax=exlnaa^x=e^{xlna}
    soit n1n=elnnnn^{\frac{1}{n}}= e^{\frac{ln n}{n}}


  • Modérateurs

    @Alpha , @Noemi, bonjour

    @Alpha

    Peut-être une piste possible si tu n'as pas d'autre idée.
    Utiliser le théorème de comparaison des séries à termes de signe constant à partir d’un certain rang.

    Etude de la série de terme général
    Vn=n1n(n+1)1n+1V_n=n^{\frac{1}{n}}-(n+1)^{\frac{1}{n+1}}

    Sn=k=1k=nVk=k=1k=n(k1k(k+1)1k+1)\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{k=n}V_k=\sum_{k=1}^{k=n}\biggl(k^{\frac{1}{k}}-(k+1)^{\frac{1}{k+1}}\biggl)

    IL s'agit d'une somme télescopique, et tu dois trouver après explicitation et simplification
    Sn=1(n+1)1n+1=1eln(n+1)n+1S_n=1-(n+1)^{\frac{1}{n+1}}=1-e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}

    Tu prouves que limn+Sn=11=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}S_n=1-1=0
    Donc la série de terme générale VnV_n est convergente (vers 0)

    Tu peux tenter une comparaison entre séries.
    Regarde les signes (Un(-U_n et VnV_n sont positifs à partir d'un certain rang et, à partir d'un certain rang, UnVn-U_n\le V_n au tableur, donc il reste à le prouver).
    Je n'ai pas creusé plus.

    Bon travail !



  • @mtschoon
    merci beaucoup

    d'accord, je vais essayer de prouver l'inegalité à partir d'un certain rang.


  • Modérateurs

    @Alpha
    Si besoin, pour la comparaison de deux séries, je te mets un lien http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_09.html
    Vois ce qui est le plus adapté.

    Bon travail.



  • Bonjour

    Merci.
    Une idée SVP pour prouver qu'on −Un ≤ Vn à partir d'un certain rang ☺

    Bonne journée


  • Modérateurs

    @Alpha ,

    Je n'ai pas cherché de démonstration , mais au tableur, je peux t'indiquer que l'inégalité proposée est valable pour n8n\ge 8
    Bon courage !
    Attends d'autres avis.



  • D'accord.
    Merci beaucoups


  • Modérateurs

    Bon travail @Alpha .


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