Le disque unité (explication ) et produit cartésien

[sui]

Bonjour tout le monde!
J'ai étais en train de résoudre les questions d'un concours mais j'ai trouvé une question dont je ne sais pas la réponse

Voilà la question

S'il vous plaît peut quelqu'un m'expliquer c'est quoi un disque d'unité, j'ai cherché sur internet, j'ai trouvé seulement la page de Wikipedia, mais il n'était pas clair pour moi!
Merci d'avance!

[mtschoon]

@sui , bonsoir,

Dans une repère orthonormé d'origine 0, D est le disque"fermé", limité par le cercle de centre 0 et de rayon 1

Le cercle de centre O et de rayon 1 a pour équation x²+y²=1

La zone à l'intérieur de ce cercle a pour équation x²+y² < 1

Le disque (il s'agit ici du disque" fermé" composé du cercle et de son intérieur) a donc pour équation $x^2+y^2\le 1$

[sui]

Bonsoir @mtschoon
J'ai compris maintenant ce qui est un disque d'unité, Merci infiniment!
Mais la proposition reste incompréhensible, est-ce que vous pouvez me l'expliquer !

[mtschoon]

@sui

La proposition P veut dire qu'il existe deux parties A et B de R telle que A x B=D

Par définition, A x B (produit cartésien de A par B) est l'ensemble de tous les couples (x,y) tels que
x appartient à A et y appartient à B.

Cette proposition P est fausse.

Pour le prouver, tu peux faire un raisonnement par l'absurde en utilisant les couples (0,1) et (1,0) dont te parle l'énoncé et trouver une contradiction.

Essaie.

[mtschoon]

@sui , re-bonjour,

Je t'indique quelques pistes si tu as besoin

Illustration graphique (seulement pour comprendre)

Détail du raisonnement par l'absurde en utilisant les données (1,0) coordonnées de I et (0.1) coordonnées de J.

$(0.1)\in D$ car $0^2+1^2\le 1$ ( plus précisément, $0^2+1^2=1$ (point J sur le cercle)

De même
$(1.0)\in D$ car $1^2+0^2\le 1$ ( plus précisément, $1^2+0^2=1$ (point I sur le cercle)

Vu l'hypothèse D=A x B,
$(0,1)\in A\times B$ et $(1,0)\in A\times B$

Avec la définition de $A\times B$, on peut déduire que :
$\fbox{0\in A}$ et $\fbox{1\in B}$ et $\fbox{1\in A}$ et $\fbox{0\in B}$

Conséquence:
Vu que $1\in A$ et $1\in B$ , nécessairement $(1,1)\in A\times B$
Vu l'hypothèse $A\times B=D$, on déduit que $(1,1)\in D$

Cela est impossible vu que le point K de coordonnées (1,1) n'est pas dans D
Preuve pour être rigoureux :
$1^2+1^2\le 1$ est FAUX car $1^2+1^2=2$

L'hypothèse $D=A\times B$ est donc fausse

CQFD.

[mtschoon]

Tant que j'y suis, je t'indique une autre version qui me vient à l'esprit.

Je ne pense pas que ça soit l'idée prévue par l'énoncé vu qu'elle n'utilise par (0,1) et (1,0).
Elle est peut-être plus simple à comprendre mais plus difficile à traiter avec rigueur.

Observons D :
Pour tout point de coordonnées (x,y) de D : $-1\le x\le 1$ c'est à dire $x\in [-1,1]$
Pour tout point de coordonnées (x,y) de D : $-1\le y\le 1$ c'est à dire $y\in [-1,1]$
Donc, d'après la définition du produit cartésien:
$(x,y)\in [-1,1]\times [-1,1]$

Les deux seules valeurs de A et B à étudier sont donc
$A=[-1;1]$ et $B=[-1,1]$
Les valeurs de $A\times B$ sont les coordonnées des points du carrée en rouge sur le graphique (avec son intérieur).

Mais alors, l'égalité $D=A\times B$ est fausse.
Il suffit bien sûr de regarder le graphique , mais on peut le justifier rigoureusement en utilisant K (1,1)
$(1,1)\in A\times B$ (K est un sommet du carré)
$(1,1)\notin D$ vu que $1^2+1^2\le 1$ et faux (K est à l'extérieur du disque)

Conclusion :
l'égalité $D=A\times B$ n'est pas exacte.

J'espère @sui, qu'une de ces deux explications, ou les deux, te conviendront...

Bonne lecture et bonne préparation à ton concours .

[sui]

Merci beaucoup @mtschoon !
J'ai bien compris la deuxième explication .

[mtschoon]

De rien @sui et très contente de t'avoir été utile !