Identité / Triangle de pascal



  • Bonsoir,
    J'ai un petit exercice à faire afin de nous répartir par niveau.
    Je souhaiterais une petite explication sur le triangle de Pascal que je n'ai pas compris.
    On m'a donné l'expression : (a+b)^n et il est demandé d'indiquer une expression plus simple ou équivalente.
    Instinctivement j'ai mis a^n +2ab+b^n en pensant aux identités remarquables.
    Un de mes camarades m'a indiqué que si n=2 (soit la véritable identité remarquable) cela est bon mais que le but est de prendre en compte toutes les valeurs possibles par n. Il m'a indiqué de regarder le triangle de pascal.
    Mais j'ai du mal à comprendre le concept principalement avec cet exemple: http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/TrgPasca.htm

    Merci par avance


  • Modérateurs

    Bonsoir dut,

    Le développement d'une identité remarquable de la forme (a+b)n(a+b)^n a n+1n+1 termes.
    Pour déterminer le coefficient de chaque terme tu peux utiliser le triangle de Pascal
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    ....
    Un terme d'une ligne est obtenu en additionnant le terme au dessus et celui qui le précède.

    On affecte ensuite a chaque nombre les variables a et b avec des puissances décroissantes pour a et croissantes pour b
    Par exemple pour (a+b)4(a+b)^4
    le triangle donne 1 4 6 4 1
    donc (a+b)4=1a4b0+4a3b1+6a2b2+4a1b3+1a0b4(a+b)^4 = 1a^4b^0 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 4a^1b^3+ 1a^0b^4
    ce qui donne (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3+ b^4



  • Bonsoir Noemi,
    merci pour l'explication, j'ai assez bien compris.
    Pour le résultat final j'ai bien vu que pour les valeurs de a on décrémente le n jusqu'à arriver à 0 et pour le b c'est l'inverse mais je ne comprends pas forcément pourquoi on fait ça.
    J'ai essayé de généraliser le résultat avec des n mais je n'y parviens pas


  • Modérateurs

    @dut

    Utilise la formule du binôme de Newton
    (a+b)n=k=0n(nk)ankbk(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^{k}



  • Bonjour Noemi,
    Merci pour la formule.
    En prenant la page wikipedia du binôme de Newton et en essayant de refaire l'exemple pour n=2
    Je trouve x20y0+x21y1+x22y2x^{2-0}y^0 + x^{2-1}y^1+x^{2-2}y^2
    ce qui ne correspond pas du tout au résultat donné
    merci


  • Modérateurs

    @dut

    Il manque les coefficients 1, 2 et 1.
    soit 1x2+2xy+1y2=x2+2xy+y21x^2 + 2xy + 1y^2 = x^2 + 2xy + y^2



  • Mais bien sûr je n'ai pas du tout pris en compte le triangle de Pascal.
    Mais maintenant c'est tout bon merci beaucoup Noemi.
    Bonne fin d'après-midi


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