Exercice recurrence bloqué



  • Bonjour,

    Je bloque sur un ex :
    on considère la suite W(n) définie par Wo=3 et Wn+1= 2Wn/Wn +1
    démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, W>=1

    en écrivant avez-vous une astuce pour écrire correctement avec les bon signes les exercices à faire sur le forum, moi cela ressemble à rien 😞

    bon j'ai fait ça :
    j'ai vérifié en remplace n =0 on a Wo=3 je remplace dans P(n) : 3>=1 donc vraie...

    Ensuite je pose qu'il faut vérifier que Pn+1 est vraie Pn+1 : Wn+1 >=1
    l'énoncé nous donne Wn+1= 2Wn/Wn +1
    je reprends Pn : Wn>1 je multiplie par 2 les deux membres
    2Wn>=2*1 ensuite je divise par 1 c'est là où je ne sais pas

    2Wn/Wn +1>=2/1

    on obtient Wn+1>=2 donc Wn+1>=1 est vérifié
    je conclue...............

    est-ce correct ?

    Merci à vous


  • Modérateurs

    @helpcbv bonjour,

    Pour écrire les expressions correctes, tu dois utiliser le Latex ...
    Je te mets un lien :
    https://forum.mathforu.com/category/26/latex

    Pour ton exercice, la démonstration de l'hérédité n'est pas bonne car on ne peux pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens.

    Une piste possible : passer par les variations de le fonction f définie par f(x)=2xx+1f(x)=\dfrac{2x}{x+1} pour x1x\ge 1

    f(x)=2(x+1)2f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2} donc f'(x) positive donc f croissante.
    de plus f(1)=1f(1)=1
    donc pour x1x\ge 1 , f(x)1f(x)\ge 1

    Tu poses ensuite Wn=xW_n=x et Wn+1=f(x)W_{n+1}=f(x) et tu tires les conclusions utiles.



  • @mtschoon a dit dans exerice recurrence bloqué :

    Pour ton exercice, la démonstration de l'hérédité n'est pas bonne car on ne peux pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens.

    Merci pour le lien,
    je comprends la démarche en passant par une fonction mais le corrigé du prof ne va dans ce sens, ci-dessous le corrigé, je viens de comprendre en l'écrivant ici :
    on a Wn>=1
    on équilibre en ajoutant un Wn des deux côtés
    Wn+Wn>=Wn+1 ( pour comprendre : + grand 1 )
    nous avons donc 2Wn>=Wn +1
    ensuite on équilibre en divisant par Wn+1 des deux côtés
    2Wn/Wn +1>=Wn +1/Wn +1
    2Wn/Wn +1>=1

    On conclue que Pn+1 est vraie les deux étapes sont vérifiées


  • Modérateurs

    @helpcbv ,

    Je t'ai donné une piste possible par étude de fonction, car j'aime bien cette méthode.

    La méthode de ton corrigé est différente mais très bonne aussi.

    Elle consiste à diviser les deux membres de l'inégalité par Wn+1W_{n}+1.
    Vu que Wn+1W_n+1 est strictement positif (à justifier), on peut diviser les deux membres de l'inégalité par Wn+1W_n+1 sans changer le sens de cette inégalité, d'où la réponse attendue.

    Tu as donc deux démonstrations possibles.
    Il y en a peut-être d'autres d'ailleurs ...

    Bon travail !



  • @mtschoon

    MERCI


  • Modérateurs

    De rien @helpcbv ☺


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