Exercice recurrence bloqué

Bonjour,

Je bloque sur un ex :
on considère la suite W(n) définie par Wo=3 et Wn+1= 2Wn/Wn +1
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, W>=1

en écrivant avez-vous une astuce pour écrire correctement avec les bon signes les exercices à faire sur le forum, moi cela ressemble à rien

bon j'ai fait ça :
j'ai vérifié en remplace n =0 on a Wo=3 je remplace dans P(n) : 3>=1 donc vraie...

Ensuite je pose qu'il faut vérifier que Pn+1 est vraie Pn+1 : Wn+1 >=1
l'énoncé nous donne Wn+1= 2Wn/Wn +1
je reprends Pn : Wn>1 je multiplie par 2 les deux membres
2Wn>=2*1 ensuite je divise par 1 c'est là où je ne sais pas

2Wn/Wn +1>=2/1

on obtient Wn+1>=2 donc Wn+1>=1 est vérifié
je conclue...............

est-ce correct ?

Merci à vous

@helpcbv bonjour,

Pour écrire les expressions correctes, tu dois utiliser le Latex ...
Je te mets un lien :
https://forum.mathforu.com/category/26/latex

Pour ton exercice, la démonstration de l'hérédité n'est pas bonne car on ne peux pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens.

Une piste possible : passer par les variations de le fonction f définie par $f(x)=2xx+1f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ pour $x≥1x\ge 1$

$f′(x)=2(x+1)2f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}$ donc f'(x) positive donc f croissante.
de plus $f (1) = 1$
donc pour $x≥1x\ge 1$ , $f(x)≥1f(x)\ge 1$

Tu poses ensuite $W_n=x$ et $W_{n+1}=f(x)$ et tu tires les conclusions utiles.

@mtschoon a dit dans exerice recurrence bloqué :

Pour ton exercice, la démonstration de l'hérédité n'est pas bonne car on ne peux pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens.

Merci pour le lien,
je comprends la démarche en passant par une fonction mais le corrigé du prof ne va dans ce sens, ci-dessous le corrigé, je viens de comprendre en l'écrivant ici :
on a Wn>=1
on équilibre en ajoutant un Wn des deux côtés
Wn+Wn>=Wn+1 ( pour comprendre : + grand 1 )
nous avons donc 2Wn>=Wn +1
ensuite on équilibre en divisant par Wn+1 des deux côtés
2Wn/Wn +1>=Wn +1/Wn +1
2Wn/Wn +1>=1

On conclue que Pn+1 est vraie les deux étapes sont vérifiées

@helpcbv ,

Je t'ai donné une piste possible par étude de fonction, car j'aime bien cette méthode.

La méthode de ton corrigé est différente mais très bonne aussi.

Elle consiste à diviser les deux membres de l'inégalité par $W_{n}+1$ .
Vu que $W_n+1$ est strictement positif (à justifier), on peut diviser les deux membres de l'inégalité par $W_n+1$ sans changer le sens de cette inégalité, d'où la réponse attendue.

Tu as donc deux démonstrations possibles.
Il y en a peut-être d'autres d'ailleurs ...

Bon travail !

@mtschoon

MERCI

De rien @helpcbv