Problème de synthèse: somme et suite géométrique

[Jade Eugene]

Bonjour, je suis bloquée dans un exercice de suite que je dois faire je sens que je suis proche de la réponse mais je ne vois pas mon erreur.

La première parties de l'énoncé est
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Démontrer que la somme commençant par k=2 et allant jusqu'a n+1 de $1/10^k$ est égale à $1/90\ast (1-1/10^n)$.

J'ai adapté un raisonnement par récurrence, j'essaie donc de démontrer que la somme commençant par k=2 et allant jusqu'a n+2 de $1/10^k$ est égale à $1/90\ast (1-1/10^{(}n+1))$.

J'ai calculé: $1/10^2+1/10^3+...+1/10^{(}n+1)+1/10^{(}n+2)$
$=1/90\ast (1-1/10^{(}n+1))+1/10^{(}n+2)$
$=1/90-1/(10^n\ast 90)+1/10^{(}n+2)$
$=1/90-(10^2+90)/(10^{(}n+2)\ast 90)$
en développant j'obtiens le deuxième membre comme
$(10\ast 10+10\ast 9)/(10^n\ast 10\ast 10\ast 10\ast 9)$
et la je suis bloquée car je n'arrive pas à factoriser pour avoir le deuxième
= $1/90\ast 1/10^{(}n+1)$

J'ai l'impression d'être proche de la solution mais je ne vois pas où est mon erreur. Merci pour votre temps et votre aide!

[mtschoon]

@Jade-Eugene , bonjour,

Comme tes écritures et parenthèses sont écrites bizarrement, j'avoue ne pas avoir vérifié ton calcul...

Il me semble qu'il y a plus simple qu'une récurrence, en utilisant la formule de la somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique.

Premier terme $U_2=\frac{1}{100}$

$U_{k+1}=U_k\times \frac{1}{10}$ raison $q=\frac{1}{10}$

Nombre de termes de $U_2$ à $U_{n+1}$ : n

La formule de la somme , après calcul, te donne la réponse

$Somme=U_2\frac{1-q^n}{1-q}$

[Jade Eugene]

@mtschoon Merci pour votre réponse. Oui je vois maintenant la relation a faire avec les suites. Cependant il ne s'agit que de la somme $q^2+q^3+...+q^n+q^{n+1}$ non ? donc pourquoi utiliser la somme de terme consécutifs de la suite et pas celle sans le $Uo$ ?

[mtschoon]

@Jade-Eugene ,

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire par "pas celle sans le $U_0$"...

Tu rédiges à ta guise suivant les notations utilisées.

Premier terme :
$U_2=q^2$=$(\frac{1}{10}{)}^2=\frac{1}{100}$

Soit S la somme cherchée .

$S=Premierterme\times \frac{1-(raison{)}^n}{1-raison}$

$S=\frac{1}{100}\times \frac{1-(\frac{1}{10}{)}^n}{1-\frac{1}{10}}$

Tu termines le calcul.

Bon travail !