Caractérisation de la borne sup/inf



  • Bonsoir!
    J'ai une grande difficulté à appliquer la caractérisation de la borne sup / inf (spécialement comme utiliser l'epsilon...)
    Par exemple :
    A=n/(mn+1){{n}/{(mn+1)}} tel que n,m appartiennent à IN*
    Je "vois" que SupA= 1 et InfA=0 mais je n'arrive pas à le montrer d'une façon mathématique!
    Pouvez-vous m'aider à dépasser ce problème et je serai très reconnaissante!!!


  • Modérateurs

    Bonjour sui ,

    Détermine un encadrement de nn, nm+1nm+1 puis de AA


  • Modérateurs

    @Noemi ,@Sui bonsoir,

    @sui ,

    Je pense que tu veux dire que A est l'ensemble des éléments de la forme nnm+1\dfrac{n}{nm+1} avec nNn\in N* et mNm\in N^*

    Quelques idées si tu veux utiliser "ϵ\epsilon"

    Evidemment, tu dois commencer par justifier (ce que tu as sans doute fait) que A est borné par 0 et 1

    Par exemple (à expliciter)
    0nnm+1nnm1m10\le \dfrac{n}{nm+1} \le \dfrac{n}{nm}\le \dfrac{1}{m}\le 1

    Pour justifier que Inf(A)=0\fbox{ Inf(A)=0}

    Tu peux prouver que ϵ>0\forall \epsilon \gt 0 ,  (n,m)\exists\ (n,m) \in N*² tel que 0nnm+1<0+ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt 0+\epsilon, c'est à dire que

    0nnm+1<ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt \epsilon

    Pour cela, tu choisis une valeur de n satisfaisante .
    Soit n=1
    Tu cherches l'existence d'une valeur de m telle que
    01m+1<ϵ0\le \dfrac{1}{m+1}\lt \epsilon
    Après transformation , tu trouves :
    m+1>1ϵm+1 \gt \dfrac{1}{\epsilon} c'est à dire m>1ϵ1m\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1 (l'autre inégalité est sûre)
    Cela est vrai vu que N* est pas majoré.


  • Modérateurs

    Pour justifier que Sup(A)=1\fbox{Sup(A)=1}

    Même idée.
    Tu peux prouver que ϵ>0\forall \epsilon \gt 0, (n,m)\exists (n,m) \in N* ² tel que 1ϵ<nnm+111-\epsilon\lt \dfrac{n}{nm+1}\le 1*

    Pour cela, tu choisis une valeur de m satisfaisante .
    Soit m=1
    Tu cherches l'existence d'une valeur de n telle que
    1ϵ<nn+11-\epsilon\lt \dfrac{n}{n+1} (l'autre inégalité est sûre)
    Après transformation , tu trouves :
    n>1ϵ1n\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1
    Cela est vrai vu que N* n'est pas majoré.

    J'espère que les définitions utilisées correspondent à ton cours (sinon, adapte)
    Il y a bien sur d'autres façons pour solutionner ta question, mais j'ai pris celle avec epsilon.


  • Modérateurs

    @sui ,

    Quelques idées si tu voulais traiter l'exercice sans "epsilon"

    Après avoir justifié que A est majoré par 1, en faisant un tableau à double entrée pour les premières valeurs de m et n (1,2,3,,...), tu trouves que pour n=2 et m=1, A=1
    Donc 1 est élément de A et est majorant. C'est donc le plus grand élément de A donc à forciori la borne supérieure.
    Tu peux donc écrire : max(A)=Sup(A)=1\fbox{ max(A)=Sup(A)=1}

    Après avoir justifié que A est minoré par 0, tu peux écrire, vu que inf(A) est le plus grand des minorants, que inf(A)0inf(A) \ge 0

    En prenant n=1
    limm+nnm+1=limm+1m+1=0\displaystyle \lim_{m\to {+\infty}}\dfrac{n}{nm+1}=\lim_{m\to _{+\infty}}\dfrac{1}{m+1}=0 donc inf(A)0inf(A)\le 0
    Bilan :
    0inf(A)00\le inf(A) \le 0 donc inf(A)=0\fbox{inf(A)=0}



  • Merciii beaucoup @mtschoon! !
    Grâce à vous j'ai compris!
    Merci merci 🙏🙏🙏🙏🙏


  • Modérateurs

    De rien @sui ☺
    Très contente d'avoir pu t'éclairer.



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