Caractérisation de la borne sup/inf



  • Bonsoir!
    J'ai une grande difficulté à appliquer la caractérisation de la borne sup / inf (spécialement comme utiliser l'epsilon...)
    Par exemple :
    A=n/(mn+1){{n}/{(mn+1)}}n/(mn+1) tel que n,m appartiennent à IN*
    Je "vois" que SupA= 1 et InfA=0 mais je n'arrive pas à le montrer d'une façon mathématique!
    Pouvez-vous m'aider à dépasser ce problème et je serai très reconnaissante!!!


  • Modérateurs

    Bonjour sui ,

    Détermine un encadrement de nnn, nm+1nm+1nm+1 puis de AAA



  • @Noemi ,@Sui bonsoir,

    @sui ,

    Je pense que tu veux dire que A est l'ensemble des éléments de la forme nnm+1\dfrac{n}{nm+1}nm+1n avec n∈Nn\in NnN* et m∈N∗m\in N^*mN

    Quelques idées si tu veux utiliser "ϵ\epsilonϵ"

    Evidemment, tu dois commencer par justifier (ce que tu as sans doute fait) que A est borné par 0 et 1

    Par exemple (à expliciter)
    0≤nnm+1≤nnm≤1m≤10\le \dfrac{n}{nm+1} \le \dfrac{n}{nm}\le \dfrac{1}{m}\le 10nm+1nnmnm11

    Pour justifier que  Inf(A)=0\fbox{ Inf(A)=0} Inf(A)=0

    Tu peux prouver que ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0ϵ>0 , ∃ (n,m)∈\exists\ (n,m) \in (n,m) N*² tel que 0≤nnm+1<0+ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt 0+\epsilon0nm+1n<0+ϵ, c'est à dire que

    0≤nnm+1<ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt \epsilon0nm+1n<ϵ

    Pour cela, tu choisis une valeur de n satisfaisante .
    Soit n=1
    Tu cherches l'existence d'une valeur de m telle que
    0≤1m+1<ϵ0\le \dfrac{1}{m+1}\lt \epsilon0m+11<ϵ
    Après transformation , tu trouves :
    m+1>1ϵm+1 \gt \dfrac{1}{\epsilon}m+1>ϵ1 c'est à dire m>1ϵ−1m\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1m>ϵ11 (l'autre inégalité est sûre)
    Cela est vrai vu que N* est pas majoré.



  • Pour justifier que Sup(A)=1\fbox{Sup(A)=1}Sup(A)=1

    Même idée.
    Tu peux prouver que ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0ϵ>0, ∃(n,m)∈\exists (n,m) \in(n,m) N* ² tel que 1−ϵ<nnm+1≤11-\epsilon\lt \dfrac{n}{nm+1}\le 11ϵ<nm+1n1*

    Pour cela, tu choisis une valeur de m satisfaisante .
    Soit m=1
    Tu cherches l'existence d'une valeur de n telle que
    1−ϵ<nn+11-\epsilon\lt \dfrac{n}{n+1}1ϵ<n+1n (l'autre inégalité est sûre)
    Après transformation , tu trouves :
    n>1ϵ−1n\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1n>ϵ11
    Cela est vrai vu que N* n'est pas majoré.

    J'espère que les définitions utilisées correspondent à ton cours (sinon, adapte)
    Il y a bien sur d'autres façons pour solutionner ta question, mais j'ai pris celle avec epsilon.



  • @sui ,

    Quelques idées si tu voulais traiter l'exercice sans "epsilon"

    Après avoir justifié que A est majoré par 1, en faisant un tableau à double entrée pour les premières valeurs de m et n (1,2,3,,...), tu trouves que pour n=2 et m=1, A=1
    Donc 1 est élément de A et est majorant. C'est donc le plus grand élément de A donc à forciori la borne supérieure.
    Tu peux donc écrire :  max(A)=Sup(A)=1\fbox{ max(A)=Sup(A)=1} max(A)=Sup(A)=1

    Après avoir justifié que A est minoré par 0, tu peux écrire, vu que inf(A) est le plus grand des minorants, que inf(A)≥0inf(A) \ge 0inf(A)0

    En prenant n=1
    lim⁡m→+∞nnm+1=lim⁡m→+∞1m+1=0\displaystyle \lim_{m\to {+\infty}}\dfrac{n}{nm+1}=\lim_{m\to _{+\infty}}\dfrac{1}{m+1}=0m+limnm+1n=m+limm+11=0 donc inf(A)≤0inf(A)\le 0inf(A)0
    Bilan :
    0≤inf(A)≤00\le inf(A) \le 00inf(A)0 donc inf(A)=0\fbox{inf(A)=0}inf(A)=0



  • Merciii beaucoup @mtschoon! !
    Grâce à vous j'ai compris!
    Merci merci 🙏🙏🙏🙏🙏



  • De rien @sui ☺
    Très contente d'avoir pu t'éclairer.